Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
, definida por
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação
definida por
definida por
O conteúdo é “transformações lineares” e vamos precisar usar a definição:
é linear se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
A definição de transformação linear diz que para quaisquer vetores
e escalar
devemos ter
Passo 3
Vejamos que
pode ser escrita como produto por uma matriz constante. Se
, então
Chamemos essa matriz de
.
Passo 4
Como
com
fixa, sabemos que
Isto mostra as duas propriedades de linearidade.
Passo 5
Concluímos que
é uma transformação linear, pois satisfaz aditividade e homogeneidade.
Resposta
A transformação é linear.