Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y)=(x+y, x-y)

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação
\displaystyle T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}
definida por
T(x,y) = (\,x+y,\;x-y\,).
O conteúdo é “transformações lineares” e vamos precisar usar a definição: T é linear se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

A definição de transformação linear diz que para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e escalar \alpha\in\mathbb{R} devemos ter
T(u+v)=T(u)+T(v) \quad\text{e}\quad T(\alpha\,u)=\alpha\,T(u).

Passo 3

Vejamos que T pode ser escrita como produto por uma matriz constante. Se v=(x,y), então
T(v) = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Chamemos essa matriz de A.

Passo 4

Como T(v)=A\,v com A fixa, sabemos que
T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v),
T(\alpha\,u)=A(\alpha\,u)=\alpha\,(A\,u)=\alpha\,T(u).
Isto mostra as duas propriedades de linearidade.

Passo 5

Concluímos que T é uma transformação linear, pois satisfaz aditividade e homogeneidade.

Resposta

A transformação é linear.

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