Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}, x_{2}+x_{4}\right)

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2
por
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (\,x_{1}-x_{2}+x_{3},\;x_{2}+x_{4}\,).
Para mostrar que T é linear, vamos verificar as duas propriedades principais: aditividade
\,T(u+v)=T(u)+T(v)\, e homogeneidade
\,T(\alpha u)=\alpha\,T(u)\,.

Passo 2

Sejam u=(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}) e v=(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}). Então
u+v = (\,u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2},\,u_{3}+v_{3},\,u_{4}+v_{4}\,)
e
T(u+v) = \bigl((u_{1}+v_{1}) - (u_{2}+v_{2}) + (u_{3}+v_{3}),\;(u_{2}+v_{2}) + (u_{4}+v_{4})\bigr).
Reagrupando,
T(u+v) = (\,u_{1}-u_{2}+u_{3},\,u_{2}+u_{4}\,) + (\,v_{1}-v_{2}+v_{3},\,v_{2}+v_{4}\,) = T(u) + T(v).

Passo 3

Seja \alpha\in\mathbb{R}. Então
\alpha\,u = (\alpha u_{1},\alpha u_{2},\alpha u_{3},\alpha u_{4})
e
T(\alpha u) = \bigl(\alpha u_{1} - \alpha u_{2} + \alpha u_{3},\;\alpha u_{2} + \alpha u_{4}\bigr) = \alpha\,(u_{1}-u_{2}+u_{3},\,u_{2}+u_{4}) = \alpha\,T(u).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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