Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
, definida por
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é uma transformação linear. O conteúdo principal aqui é a definição de linearidade, que exige duas propriedades: aditividade e homogeneidade, ou equivalentemente que
.
Passo 2
Verificamos o ponto zero no domínio. Se
fosse linear, deveríamos ter
Mas
Logo, já falha a condição necessária de enviar o vetor zero no domínio para o vetor zero no contradomínio.
Passo 3
Para reforçar, checamos a aditividade. Tomemos
e
. Então
enquanto
Como
em geral, falha a aditividade.