Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y)=(x+2, y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, \quad T(x,y) = (\,x+2,\;y\,)
é uma transformação linear. O conteúdo principal aqui é a definição de linearidade, que exige duas propriedades: aditividade e homogeneidade, ou equivalentemente que T(0,0)=(0,0).

Passo 2

Verificamos o ponto zero no domínio. Se T fosse linear, deveríamos ter
T(0,0) = (0,0).
Mas
T(0,0) = (0+2,\;0) = (2,0) \neq (0,0).
Logo, já falha a condição necessária de enviar o vetor zero no domínio para o vetor zero no contradomínio.

Passo 3

Para reforçar, checamos a aditividade. Tomemos (x_1,y_1) e (x_2,y_2). Então
T\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(x_1+x_2+2,\;y_1+y_2\bigr),
enquanto
T(x_1,y_1) + T(x_2,y_2) = (x_1+2,\;y_1) + (x_2+2,\;y_2) = (x_1+x_2+4,\;y_1+y_2).
Como (x_1+x_2+2,y_1+y_2)\neq(x_1+x_2+4,y_1+y_2) em geral, falha a aditividade.

Resposta

T não é transformação linear, pois não satisfaz T(0,0)=(0,0) nem a aditividade.

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