Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por T(x, y, z)=(0,0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (0,0,0)
é linear. O conteúdo que vamos usar é a definição de transformação linear: para todo \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e todo escalar c, deve valer
  1. T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})
  2. T(c\mathbf{u}) = c\,T(\mathbf{u})

Passo 2

Testamos a aditividade. Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2). Então
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
logo
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = (0,0,0).
Por outro lado,
T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = (0,0,0) + (0,0,0) = (0,0,0).
Logo T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}).

Passo 3

Testamos a homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z). Então
c\,\mathbf{u} = (c\,x,\;c\,y,\;c\,z),
e
T(c\,\mathbf{u}) = (0,0,0).
Como
c\,T(\mathbf{u}) = c\,(0,0,0) = (0,0,0),
segue que T(c\,\mathbf{u}) = c\,T(\mathbf{u}).

Passo 4

Concluímos que T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade. Além disso, T pode ser vista como multiplicação por uma matriz zero 3\times3, o que é sempre linear.

Resposta

A transformação T(x,y,z)=(0,0,0) é linear, pois satisfaz
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \quad\text{e}\quad T(c\,\mathbf{u}) = c\,T(\mathbf{u})
para todo \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e todo c\in\mathbb{R}.

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