Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
, definida por
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação
é linear. O conteúdo que vamos usar é a definição de transformação linear: para todo
e todo escalar
, deve valer
Passo 2
Testamos a aditividade. Sejam
e
. Então
logo
Por outro lado,
Logo
.
Passo 3
Testamos a homogeneidade. Seja
e
. Então
e
Como
segue que
.
Passo 4
Concluímos que
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade. Além disso,
pode ser vista como multiplicação por uma matriz zero
, o que é sempre linear.
Resposta
A transformação
é linear, pois satisfaz
para todo
e todo
.