Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{3}-x_{4}, x_{1}+x_{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a transformação
T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}, \quad T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = \bigl(x_{1}+x_{2},\;x_{3}-x_{4},\;x_{1}+x_{3}\bigr).
O conteúdo aqui é verificar se T satisfaz as duas condições de linearidade:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v) para todos u,v\in\mathbb{R}^{4}.
  2. Homogeneidade: T(\alpha u)=\alpha\,T(u) para todo \alpha\in\mathbb{R} e u\in\mathbb{R}^{4}.

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam
u=(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}),\quad v=(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}).
Então
u+v = (u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2},\,u_{3}+v_{3},\,u_{4}+v_{4})
e aplicando T,
T(u+v) = \bigl((u_{1}+v_{1})+(u_{2}+v_{2}),\;(u_{3}+v_{3})-(u_{4}+v_{4}),\;(u_{1}+v_{1})+(u_{3}+v_{3})\bigr).
Reagrupando somas,
T(u+v) = \bigl(u_{1}+u_{2},\,u_{3}-u_{4},\,u_{1}+u_{3}\bigr) + \bigl(v_{1}+v_{2},\,v_{3}-v_{4},\,v_{1}+v_{3}\bigr) = T(u) + T(v).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R}. Então
\alpha\,u = (\alpha u_{1},\alpha u_{2},\alpha u_{3},\alpha u_{4})
e
T(\alpha u) = \bigl(\alpha u_{1}+\alpha u_{2},\;\alpha u_{3}-\alpha u_{4},\;\alpha u_{1}+\alpha u_{3}\bigr) = \alpha\,\bigl(u_{1}+u_{2},\,u_{3}-u_{4},\,u_{1}+u_{3}\bigr) = \alpha\,T(u).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear.

Resposta

T é uma transformação linear.

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