Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
, definida por
Passo 1
O enunciado dá a transformação
O conteúdo aqui é verificar se
satisfaz as duas condições de linearidade:
- Aditividade:
para todos . - Homogeneidade:
para todo e .
Passo 2
Verificamos a aditividade. Sejam
Então
e aplicando
,
Reagrupando somas,
Passo 3
Verificamos a homogeneidade. Seja
. Então
e
Passo 4
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear.