Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y, z)=(x+2 y, 3 z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z) = (\,x + 2y,\;3z\,).
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar c\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 2

Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
u+v = (\,x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\,)
e, aplicando T, temos
T(u+v) = \bigl((x_1+x_2)+2(y_1+y_2),\;3(z_1+z_2)\bigr) = (\,x_1+2y_1,\;3z_1\,) + (\,x_2+2y_2,\;3z_2\,) = T(u) + T(v).

Passo 3

Para homogeneidade, seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z). Então
c\,u = (\,c x,\;c y,\;c z\,)
e
T(c\,u) = \bigl(c x + 2\,c y,\;3\,(c z)\bigr) = c\,(x + 2y,\;3z) = c\,T(u).

Passo 4

Como T satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, concluímos que é de fato uma transformação linear. Alternativamente, nota-se que T corresponde à multiplicação pelo seguinte matriz 2\times3:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},
o que sempre define uma aplicação linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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