Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y, z)=(x+2 y, 3 z)
Passo 1
O enunciado dá a transformação T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z) = (\,x + 2y,\;3z\,).
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar c\in\mathbb{R}:
Como T satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, concluímos que é de fato uma transformação linear. Alternativamente, nota-se que T corresponde à multiplicação pelo seguinte matriz 2\times3: