Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y)=\left(x, y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} por
T(x,y) = (\,x,\,y^{3}\,).
Queremos verificar se T é linear, ou seja, se satisfaz:
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u,v\in\mathbb{R}^2, e
  2. homogeneidade: T(c\,u)=c\,T(u) para todo c\in\mathbb{R} e u\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
T(u+v) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(x_1+x_2,\,(y_1+y_2)^3\bigr)
enquanto
T(u)+T(v) = (\,x_1,y_1^3)+(x_2,y_2^3) = \bigl(x_1+x_2,\;y_1^3+y_2^3\bigr).
Como em geral (y_1+y_2)^3 \neq y_1^3 + y_2^3, conclui-se que a aditividade falha.

Passo 3

Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
T(c\,u) = T(cx,cy) = \bigl(cx,(cy)^3\bigr) = \bigl(cx,c^3y^3\bigr)
enquanto
c\,T(u) = c\,(x,y^3) = \bigl(cx,c\,y^3\bigr).
Em geral c^3y^3 \neq c\,y^3, logo a homogeneidade também falha.

Resposta

A transformação T(x,y)=(x,y^3) não é linear.

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