Escreva as equações das elipses abaixo, esboçando seus gráficos. Obtenha todos os seus elementos (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos).
Centro ( 2,-1 ) e passa pelos pontos ( -3,-1 ) e ( 2,3 )

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse com centro em (2,-1) e eixos paralelos aos eixos coordenados, sabendo que ela passa por (-3,-1) e por (2,3). Vamos usar a forma canônica
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1
onde (h,k)=(2,-1), e determinar a e b a partir das distâncias do centro até os pontos dados.

Passo 2

O ponto (-3,-1) está sobre a elipse e tem a mesma ordenada do centro, logo mede-se o semi-eixo horizontal:
a = \bigl|-3 - 2\bigr| = 5.
O ponto (2,3) tem a mesma abscissa do centro, dando o semi-eixo vertical:
b = \bigl|3 - (-1)\bigr| = 4.

Passo 3

Substituindo (h,k)=(2,-1), a=5 e b=4 na forma canônica, obtemos
\frac{(x-2)^{2}}{25} + \frac{(y+1)^{2}}{16} = 1.

Passo 4

Para achar os focos calculamos
c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{25 - 16} = 3.
Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em (h\pm c,k), ou seja,
F_{1}=(-1,-1),\quad F_{2}=(5,-1).

Passo 5

Os vértices ao longo do eixo maior são
V_{1}=(h - a,\;k)=(-3,-1),\quad V_{2}=(h + a,\;k)=(7,-1).
Os co-vértices ao longo do eixo menor são
C_{1}=(h,\;k - b)=(2,-5),\quad C_{2}=(h,\;k + b)=(2,3).

Passo 6

A excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0{,}6.
O comprimento do eixo maior é 2a = 10 (horizontal) e do menor é 2b = 8 (vertical).

Passo 7

Esboço do gráfico: centro em (2,-1), vértices em (-3,-1) e (7,-1), co-vértices em (2,-5) e (2,3), focos em (-1,-1) e (5,-1), com eixo maior horizontal de tamanho 10 e eixo menor vertical de tamanho 8.

Resposta

Equação da elipse:
\frac{(x-2)^{2}}{25} + \frac{(y+1)^{2}}{16} = 1.
Centro: (2,-1)
Vértices: (-3,-1), (7,-1)
Co-vértices: (2,-5), (2,3)
Focos: (-1,-1), (5,-1)
Excentricidade: e=0{,}6
Eixos: maior horizontal de comprimento 10, menor vertical de comprimento 8.

Exercícios relacionados