Escreva as equações das parábolas, esboçando seus gráficos. Obtenha todos os seus elementos (foco, vértices, eixo, diretriz).
Foco (-4,1) e diretriz y=3

Passo 1

O enunciado pede a parábola cujo foco é (-4,1) e cuja diretriz é a reta y=3. Vamos usar a definição de parábola como o conjunto de pontos equidistantes do foco e da diretriz. Precisamos encontrar o vértice, o parâmetro p, a equação própria e descrever o eixo e o sentido de abertura.

Passo 2

A diretriz y=3 é uma reta horizontal, logo o eixo da parábola será vertical. Como o foco está em (-4,1), o eixo é a reta
x=-4.
Para saber a orientação (para cima ou para baixo) note que o foco fica em y=1, abaixo da diretriz y=3. Assim a parábola abre para baixo. A distância do foco à diretriz vale
|1-3|=2,
e em fórmulas de parábola vertical essa distância é 2|p|. Logo
2|p|=2\implies |p|=1.
Como abre para baixo, tomamos p=-1.

Passo 3

O vértice é o ponto médio entre foco e diretriz ao longo do eixo. Em x fica em -4 e, em y, na média de 1 e 3:
y_v=\frac{1+3}{2}=2.
Portanto o vértice é
V=(-4,2).

Passo 4

A forma padrão de uma parábola com eixo vertical e vértice em (h,k) é
(x-h)^2=4p\,(y-k).
Aqui (h,k)=(-4,2) e p=-1, então
(x+4)^2 = 4\cdot(-1)\,(y-2) \quad\Longrightarrow\quad (x+4)^2 = -4(y-2).

Passo 5

Resumo dos elementos da parábola:
Foco: (-4,1)
Diretriz: y=3
Vértice: (-4,2)
Eixo: reta x=-4
Parâmetro: p=-1 (abertura para baixo)
Esboço do gráfico: vértice em (-4,2), abre para baixo sobre o eixo vertical, com foco um unidade abaixo do vértice e diretriz uma unidade acima do vértice.

Resposta

Equação da parábola:
(x+4)^2 = -4(y-2).
Foco: (-4,1). Diretriz: y=3. Vértice: (-4,2). Eixo: x=-4. Abertura: para baixo (p = -1).

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