Para cada valor de \varepsilon determine o valor de \delta que satisfaça a definição de limite.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-1}{x}=\frac{3}{2} e \varepsilon=0,1

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}
com
\lim_{x\to2}f(x)=\tfrac{3}{2},
determinar, dado \varepsilon=0,1, um \delta>0 tal que
|x-2|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\bigl|f(x)-\tfrac{3}{2}\bigr|<\varepsilon.
Vamos usar a definição de limite \varepsilon- \delta e estimar \bigl|f(x)-\tfrac32\bigr| em função de |x-2|.

Passo 2

Calculemos a diferença
f(x)-\tfrac{3}{2} =\frac{x^{2}-1}{x}-\frac{3}{2} =\frac{2x^{2}-2-3x}{2x} =\frac{2x^{2}-3x-2}{2x}.
Fatorando o numerador:
2x^{2}-3x-2=(2x+1)(x-2),
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\bigl|f(x)-\tfrac{3}{2}\bigr| =\frac{\bigl|2x+1\bigr|}{2|x|}\,|x-2|.

Passo 3

Para estimar \tfrac{|2x+1|}{2|x|} de forma simples, restringimos |x-2|<1. Então 1<x<3, implicando
|x|\;>\;1 \quad\text{e}\quad |2x+1|\le2|x|+1<2\cdot 3+1=7.
Assim, sempre que |x-2|<1, vale
\frac{|2x+1|}{2|x|}<\frac{7}{2\cdot 1}=\frac{7}{2},
e então
\bigl|f(x)-\tfrac{3}{2}\bigr|<\frac{7}{2}\,|x-2|.

Passo 4

Queremos \bigl|f(x)-\tfrac32\bigr|<\varepsilon. Pela estimativa acima basta ter
\frac{7}{2}\,|x-2|<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad |x-2|<\frac{2\varepsilon}{7}.
Além disso impusemos |x-2|<1. Logo, uma escolha válida é
\delta=\min\Bigl(1,\;\frac{2\varepsilon}{7}\Bigr).

Passo 5

Substituindo \varepsilon=0,1, obtemos
\frac{2\varepsilon}{7}=\frac{2\cdot 0,1}{7}=\frac{0,2}{7}\approx0,02857.
Portanto
\delta=\min\bigl(1,\;0,02857\bigr)=0,02857\ldots

Resposta

Para \varepsilon=0,1, vale
\delta=\frac{0,2}{7}\approx0,0286.

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