Para cada valor de \varepsilon determine o valor de \delta que satisfaça a definição de limite.
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{1}{x}=\frac{1}{4} e \quad \varepsilon=0,01

Passo 1

O enunciado pede que, dado
\lim_{x \to 4}\frac{1}{x}=\frac{1}{4},
e \varepsilon=0,01, a gente encontre \delta>0 tal que
0<|x-4|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\Bigl|\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{4}\Bigr|<\varepsilon.
O conteúdo usado é a definição \varepsilon
obreakdash- \delta de limite.

Passo 2

Começamos por escrever a diferença em função de |x-4|:
\Bigl|\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{4}\Bigr| =\Bigl|\tfrac{4-x}{4x}\Bigr| =\frac{|x-4|}{4\,|x|}.

Passo 3

Para controlar o fator 1/(4|x|), restringimos x a um intervalo onde |x| seja grande o suficiente. Tomemos \delta_1=1. Se |x-4|<\delta_1, então 3<x<5 e, como x>0, temos |x|>3. Logo
4\,|x|>12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{4\,|x|}<\frac{1}{12},
de onde
\Bigl|\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{4}\Bigr| <\frac{|x-4|}{12}.

Passo 4

Queremos \frac{|x-4|}{12}<\varepsilon, ou seja
|x-4|<12\,\varepsilon.
Para garantir simultaneamente |x-4|<\delta_1 e |x-4|<12\varepsilon, escolhemos
\delta=\min\{\,\delta_1,\;12\,\varepsilon\} =\min\{\,1,\;12\,\varepsilon\}.

Passo 5

Como \varepsilon=0,01, temos 12\,\varepsilon=12\cdot0,01=0,12. Assim
\delta=\min\{1,0,12\}=0,12.

Resposta

\delta=0,12 satisfaz a definição de limite para \varepsilon=0,01.

Exercícios relacionados