Para cada valor de \varepsilon determine o valor de \delta que satisfaça a definição de limite.
\lim _{x \rightarrow 1} 3 x-1=2 e \varepsilon=0,5

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, via definição de limite, que \displaystyle\lim_{x\to1}(3x-1)=2
escolhendo um \delta tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, tenhamos
\bigl|(3x-1)-2\bigr|<\varepsilon,
aqui com \varepsilon=0,5.

Passo 2

Calculemos a diferença entre a imagem e o valor do limite:
\bigl|(3x-1)-2\bigr| =\bigl|3x-3\bigr| =3\,|x-1|.

Passo 3

Para garantir 3\,|x-1|<\varepsilon, basta exigir
|x-1|<\frac{\varepsilon}{3}.
Como \varepsilon=0,5, escolhemos
\delta=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \delta = \tfrac{1}{6}.

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