Seja u=-B C+3 B A, com A=(-1,0), B=(-1,2) e C=(2,-3). Obtenha: i) todos os vetores unitários paralelos a u; e ii) todos os vetores unitários perpendiculares a u.
R: i) v1=(3raiz10, 1raiz10) e v2=(-3raiz10, -1raiz10), ii) w1=(-1raiz10, 3raiz10) e w2=(1raiz10, -3raiz10).

Passo 1

O enunciado define o vetor
vec u = -,BC + 3,BA
nos dá os pontos
A = (-1,0), B = (-1,2), C = (2,-3)
e pede (i) todos os vetores unitários paralelos a vec u e (ii) todos os vetores unitários perpendiculares a vec u. Vamos usar operações com coordenadas de vetores e o conceito de normalização.

Passo 2

Calcular BC e BA pelas diferenças das coordenadas:
BC = C - B = (2 - (-1),;-3 - 2) = (3,,-5),
BA = A - B = (-1 - (-1),;0 - 2) = (0,,-2)

Passo 3

Formar vec u a partir desses resultados:
vec u = -BC + 3,BA = -(3,-5) + 3,(0,-2) = (-3,5) + (0,-6) = (-3,,-1)

Passo 4

Calcular o comprimento (norma) de vec u:
|vec u| = raiz(-3)^2 + (-1)^2 = raiz9 + 1 = raiz10

Passo 5

Vetores unitários paralelos a vec u são obtidos por pm dfracvec u|vec u|. Logo,
v1 = 1raiz10,(-3,-1) = l(-tfrac3raiz10,-tfrac1raiz10r),
v2 = -v1 = l(tfrac3raiz10,tfrac1raiz10r)

Passo 6

Vetores unitários perpendiculares a vec u satisfazem vec ucdot vec w=0. Um vetor perpendicular a vec u=(-3,-1) é, por exemplo, (1,-3), pois
(-3,-1)cdot(1,-3) = -3cdot1 + (-1)cdot(-3) = 0
Normalizando esse e seu oposto, obtemos
w1 = 1raiz10,(1,-3) = l(tfrac1raiz10,-tfrac3raiz10r),
w2 = -w1 = l(-tfrac1raiz10,tfrac3raiz10r)

Resposta


(i) v1=l(-tfrac3raiz10,-tfrac1raiz10r),
v2=l(tfrac3raiz10,tfrac1raiz10r).
(ii) w1=l(tfrac1raiz10,-tfrac3raiz10r),
w2=l(-tfrac1raiz10,tfrac3raiz10r).

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