Um cadeado com segredo possui três engrenagens, cada uma contendo todos os dígitos de 0 a 9. Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser colocados numa sequência correta, escolhendo-se um dígito em cada engrenagem. (Exemplo: 237,366,593, ldots ) Qual é a probabilidade ab de não se escolher um segredo no qual todos os dígitos são distintos ou o dígito 3 não aparece?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um cadeado com 3 rodas (cada uma com dígitos 0–9), totalizando códigos possíveis. A gente quer a probabilidade de não escolher um segredo em que
  1. todos os dígitos sejam distintos
    ou
  2. o dígito 3 não apareça.
Isso cai em probabilidade básica (contagem de casos) e vai usar o princípio da inclusão–exclusão e o complementar de evento.

Passo 2

Definimos dois eventos:
Pl((Acup B)^cr);=;1 - P(Acup B) óí
óíã
O enunciado pede a probabilidade de não escolher um código em , ou seja:

Passo 3

Primeiro, o total de códigos é
|Omega| ;=; 10^3 ;=;1000

Passo 4

Contagem de |A| = 10 times 9 times 8 = 720 : códigos com dígitos todos distintos.
  • Para o primeiro dígito temos 10 opções,
  • para o segundo sobram 9,
  • para o terceiro sobram 8.
    Logo

Passo 5

Contagem de |B| = 9^3 = 729 : códigos sem o dígito 3.
Cada roda não pode usar o “3”, então 9 opções em cada uma:

Passo 6

Contagem de |Acap B| = 9 times 8 times 7 = 504 : códigos com dígitos todos distintos e sem usar o 3.
Agora só temos 9 dígitos disponíveis (0,1,2,4,5,6,7,8,9) e queremos permutar 3 posições:

Passo 7

Aplicando inclusão–exclusão para |Acup B| = |A| + |B| - |Acap B| = 720 + 729 - 504 = 945 :
P(Acup B) = 9451000
Assim

Passo 8

O que a gente quer é o complementar:
Pl((Acup B)^cr) = 1 - 9451000 = 551000 = 11200

Resposta

A probabilidade pedida é .

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