Um cadeado com segredo possui três engrenagens, cada uma contendo todos os dígitos de 0 a 9. Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser colocados numa sequência correta, escolhendo-se um dígito em cada engrenagem. (Exemplo:
) Qual é a probabilidade
de não se escolher um segredo no qual todos os dígitos são distintos ou o dígito 3 não aparece?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um cadeado com 3 rodas (cada uma com dígitos 0–9), totalizando
códigos possíveis. A gente quer a probabilidade de não escolher um segredo em que
- todos os dígitos sejam distintos
ou - o dígito 3 não apareça.
Isso cai em probabilidade básica (contagem de casos) e vai usar o princípio da inclusão–exclusão e o complementar de evento.
Passo 2
Definimos dois eventos:
O enunciado pede a probabilidade de não escolher um código em
, ou seja:
Passo 3
Primeiro, o total de códigos é
Passo 4
Contagem de
: códigos com dígitos todos distintos.
- Para o primeiro dígito temos 10 opções,
- para o segundo sobram 9,
- para o terceiro sobram 8.
Logo
Passo 5
Contagem de
: códigos sem o dígito 3.
Cada roda não pode usar o “3”, então 9 opções em cada uma:
Cada roda não pode usar o “3”, então 9 opções em cada uma:
Passo 6
Contagem de
: códigos com dígitos todos distintos e sem usar o 3.
Agora só temos 9 dígitos disponíveis (0,1,2,4,5,6,7,8,9) e queremos permutar 3 posições:
Agora só temos 9 dígitos disponíveis (0,1,2,4,5,6,7,8,9) e queremos permutar 3 posições:
Passo 7
Aplicando inclusão–exclusão para
:
Assim
Passo 8
O que a gente quer é o complementar:
Resposta
A probabilidade pedida é
.