Uma cadeia de lojas recebeu um novo modelo de aparelho som. Para determinar um processo adequado de promoção dos novos aparelhos, estudou-se a sua performance em termos de potência. O fabricante especificou que, em média, os aparelhos atingem 65 watts a 8 ohms. Obtida uma amostra de 8 aparelhos, verificou-se que a potência média foi de 63,1 watts com desvio padrão de 1,7 watts. Verifique se a informação do fabricante está condizente com os resultados amostrais, utilizando nível de significância de 5%.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com teste de hipóteses, que é parte da estatística. Precisamos verificar se a média de potência dos aparelhos realmente é 65 watts, como o fabricante disse. Para isso, vamos usar os dados da amostra que você forneceu: média de 63,1 watts, desvio padrão de 1,7 watts e um tamanho de amostra de 8 aparelhos. Vamos usar um nível de significância de 5% para tomar nossa decisão.
Passo 2
Primeiro, precisamos formular as hipóteses do teste. A hipótese nula $ H_0 $ representa a afirmação que queremos testar, que é a do fabricante:
A hipótese alternativa $ H_a $ é o que pensamos que pode ser verdadeiro se a hipótese nula for rejeitada. Como não estamos especificando se a média é maior ou menor, vamos considerar que pode ser diferente:
Passo 3
Como o tamanho da amostra é pequeno (n = 8) e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para o valor do t é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média da amostra (63,1)
- $ \mu_0 $ é a média segundo o fabricante (65)
- $ s $ é o desvio padrão da amostra (1,7)
- $ n $ é o tamanho da amostra (8)
Passo 4
Vamos calcular o valor do t:
Então, o valor calculado de t é aproximadamente -3,16.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico do t para um teste bicaudal com nível de significância de 5% e graus de liberdade $ df = n - 1 = 7 $. Consultando a tabela t, ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente ±2,365.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
Como o valor de t está fora do intervalo crítico (é menor que -2,365), a gente rejeta a hipótese nula.
Passo 7
Rejeitar a hipótese nula significa que há evidências suficientes para dizer que a média de potência dos aparelhos não é 65 watts, conforme o fabricante afirmou.
Resposta
Com nível de significância de 5%, os dados da amostra indicam que a média de potência dos aparelhos difere de 65 watts. Portanto, a informação do fabricante não está totalmente condizente com os resultados amostrais.