Definimos a variável aleatória R=barX-mu como sendo o erro amostral da média. E suponha que a variável aleatória X que indica salários dos funcionários segue o modelo normal com média mu e variância é igual a 400 unidades ao quadrado. Qual deve ser o tamanho da amostra para que 95 % dos erros amostrais absolutos sejam inferiores a 1 unidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema sobre estatística, especificamente sobre erro amostral e distribuição normal. A gente precisa descobrir qual o tamanho da amostra necessário para que 95% dos erros amostrais absolutos sejam menores que 1 unidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e cálculo do tamanho da amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o erro amostral. A variável aleatória $ R = \bar{X} - \mu $ representa a diferença entre a média da amostra ($ \bar{X} R = barX - mu éçã \mu $). Queremos que esse erro seja pequeno, ou seja, que $ |R| < 1 $ com 95% de certeza.

Passo 3

Sabemos que a variável $ X $ segue uma distribuição normal com média $ \mu $ e variância 400, o que significa que o desvio padrão ($ \sigma $) é $ \sqrt{400} = 20 $.

Passo 4

Quando tiramos uma amostra de tamanho $ n $, a média da amostra $ \bar{X} $ também segue uma distribuição normal, com média $ \mu $ e desvio padrão $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $. Esse desvio padrão é chamado de erro padrão da média.

Passo 5

Queremos que a probabilidade de $ |R| < 1 $ seja 95%. Em termos de distribuição normal, isso significa que queremos que $ \bar{X} $ esteja dentro de 1 unidade da média $ \mu $ em 95% dos casos.

Passo 6

Para encontrar o tamanho da amostra $ n $, usamos a tabela da distribuição normal padrão. Sabemos que 95% da distribuição está dentro de aproximadamente 1,96 desvios padrão da média. Portanto:
n

Passo 7

Vamos resolver a equação para $ n $:
n
Multiplicando ambos os lados por $ \sigma $:
1,96 = raiznsigma
Elevando ao quadrado ambos os lados:
sigma

Passo 8

Substituindo $ \sigma = 20 $:
sigma = 20

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 1.537 funcionários.

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