Para testar a performance em termos de consumo de combustível de um novo carro compacto, o fabricante sorteou seis motoristas profissionais que dirigiram o automóvel de Pelotas a Porto Alegre. O consumo do carro (em litros) para cada um dos seis motoristas foi de
27,2 ; 29,3 ; 31,5 ; 28,7 ; 30,2 ; 29,6
Baseado nesses dados e utilizando nível de significância de 5%, o fabricante pode indicar que o consumo médio do novo carro é de 30 litros para viagens nesse percurso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a média de consumo de combustível de um carro novo é realmente 30 litros numa viagem de Pelotas a Porto Alegre. Vamos usar estatística, mais especificamente um teste de hipótese com um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média dos consumos, a variância, e aplicar o teste t de Student.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula ( H0): A média de consumo do carro é igual a 30 litros. ( mu = 30)
  • Hipótese Alternativa ( H1): A média de consumo do carro é diferente de 30 litros. ( mu neq 30)
Estamos fazendo um teste bicaudal porque queremos saber se a média é diferente, seja maior ou menor que 30 litros.

Passo 3

Como temos uma amostra pequena (n=6) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student para testar a hipótese sobre a média.

Passo 4

Vamos calcular a média ( barx) e o desvio padrão ( s) dos consumos fornecidos:
Consumos: 27,2; 29,3; 31,5; 28,7; 30,2; 29,6
Primeiro, calculamos a média:
barx = 27,2 + 29,3 + 31,5 + 28,7 + 30,2 + 29,66 = 175,56 approx 29,25 litros
Agora, calculamos o desvio padrão:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Calculando cada (xi - barx)^2:
(27,2 - 29,25)^2 = 4,1849 (29,3 - 29,25)^2 = 0,0025 (31,5 - 29,25)^2 = 5,0625 (28,7 - 29,25)^2 = 0,3025 (30,2 - 29,25)^2 = 0,9025 (29,6 - 29,25)^2 = 0,1225
Somando:
4,1849 + 0,0025 + 5,0625 + 0,3025 + 0,9025 + 0,1225 = 10,5764
Então,
s = raiz10,57645 = raiz2,1153 approx 1,454 litros

Passo 5

Agora vamos calcular o estatístico t usando a fórmula:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • barx = 29,25
  • mu0 = 30
  • s = 1,454
  • n = 6
Substituindo:
t = 29,25 - 301,454raiz6 = -0,751,4542,449 = -0,750,593 approx -1,265

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico t para um teste bicaudal com nível de significância de 5% e graus de liberdade df = n - 1 = 5.
Consultando a tabela t de Student, para df = 5 e alpha/2 = 0,025 em cada cauda, o valor crítico é aproximadamente tcrítico = pm 2,571í.

Passo 7

Comparamos o valor absoluto do nosso estatístico t com o valor crítico:
|t| = 1,265 < 2,571 = tcrítico í
Como |t| é menor que tcríticoí, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para afirmar que a média de consumo do novo carro difere de 30 litros para a viagem de Pelotas a Porto Alegre.

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