No caderno, esboce no plano cartesiano o gráfico da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} definida f(x)=3^{x-1}. Em seguida, responda:
a) Qual é o conjunto imagem dessa função? 35. a) \mathbb{R}_{+}.
b) Quais as coordenadas do ponto em que o gráfico dessa função intercepta o eixo das ordenadas? 35. b) \left(0, \frac{1}{3}\right)
c) Qual o valor real de x para o qual f(x)=1 ? 35. c) 1
d) Qual o valor real de x para o qual f(x)=0 ? 35. d) Não existe x real.

Passo 1

O enunciado pede para entendermos o comportamento da função exponencial
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}_{+}^{*},\quad f(x)=3^{\,x-1},
(esboçar seu gráfico no caderno) e depois determinar
a) o conjunto imagem,
b) o ponto de interseção com o eixo y,
c) o x tal que f(x)=1,
d) o x tal que f(x)=0.
Vamos usar propriedades básicas de funções exponenciais (domínio, imagem, monotonia e valores especiais).

Passo 2

Uma função da forma a^{x} com a>1 é definida para todo x\in\mathbb{R} e produz valores positivos, nunca alcançando zero nem valores negativos. Como aqui temos f(x)=3^{\,x-1}, que é apenas uma translação horizontal de 3^{x}, seu valor varia de forma contínua e estritamente crescente em todo \mathbb{R}, assumindo todos os valores em (0,\infty). Logo, o conjunto imagem é (0,\infty), ou seja \mathbb{R}_{+}^{*}.

Passo 3

Para achar a interseção com o eixo das ordenadas (eixo y), basta pôr x=0 em f(x):
f(0)=3^{\,0-1}=3^{-1}=\frac{1}{3}.
Portanto, o gráfico corta o eixo y no ponto \bigl(0,\tfrac13\bigr).

Passo 4

Para resolver f(x)=1, fazemos
3^{\,x-1}=1.
Como a^{\,u}=1 com a>0 só ocorre quando u=0, temos
x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 5

Para resolver f(x)=0, tentaríamos
3^{\,x-1}=0,
mas uma função exponencial com base positiva nunca é zero. Portanto, não existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=0.

Resposta

a) O conjunto imagem é (0,\infty).
b) A interseção com o eixo das ordenadas ocorre em \bigl(0,\tfrac13\bigr).
c) f(x)=1 quando x=1.
d) Não existe x real tal que f(x)=0.

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