Em uma concessionária de carros novos, o vendedor informou ao comprador que a lei matemática que permite estimar a depreciação de determinado carro comprado é V(t)=75000 \cdot 4^{-0,2 t}, em que V(t) é o valor do carro em reais, t anos após a aquisição do carro zero na concessionária. Segundo a lei da depreciação, determine:
a) o valor do carro no momento da compra. 38, a) \mathrm{R} \ 75.000 .00$.
b) o tempo que leva para esse carro valer um oitavo do valor quando retirado da concessionária. 38. b) 7,5 anos

Passo 1

O enunciado dá a lei de depreciação
V(t) = 75000 \cdot 4^{-0,2\,t}
onde V(t) é o valor em reais após t anos. Precisamos encontrar:
  1. o valor do carro no momento da compra ( t=0),
  2. o tempo t para que V(t) seja um oitavo do valor inicial.

Passo 2

Para saber o valor inicial, basta avaliar V(t) em t=0:
V(0) = 75000 \cdot 4^{-0,2\cdot 0} = 75000 \cdot 4^{0} = 75000 \cdot 1 = 75000.
Como costuma escrevermos valores de moeda com duas casas decimais, isso equivale a R$ 75000,00.

Passo 3

Agora queremos V(t) = \tfrac{1}{8}V(0). Como V(0)=75000, montamos a equação
75000 \cdot 4^{-0,2\,t} = \frac{1}{8}\cdot 75000.
Dividindo os dois lados por 75000, fica
4^{-0,2\,t} = \frac{1}{8}.

Passo 4

Usamos a forma 4=2^2 e \tfrac{1}{8}=2^{-3}. Então
4^{-0,2\,t} = (2^2)^{-0,2\,t} = 2^{-0,4\,t} \quad\text{e}\quad \frac{1}{8}=2^{-3}.
Igualando os expoentes de base 2:
-0,4\,t = -3 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{3}{0,4} = 7,5.

Passo 5

Concluímos que leva 7,5 anos para o carro valer um oitavo do valor inicial.

Resposta

a) R$ 75000,00
b) 7,5 anos

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