Uma caixa de
está sobre uma rampa inclinada em
sem atrito. Ela está ligada por uma corda que passa por uma polia a uma mola de constante elástica
. A caixa parte do repouso com a mola em posição de equilíbrio. Assuma que as massas da polia e a corda sejam desprezíveis.
Calcule a aceleração da caixa quando ela para momentaneamente. Considere aceleração positiva se for subindo a rampa, e negativa se for descendo.
Calcule a aceleração da caixa quando ela para momentaneamente. Considere aceleração positiva se for subindo a rampa, e negativa se for descendo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma caixa de 2 kg que está em cima de uma rampa inclinada de 40 graus, sem atrito. A caixa está ligada a uma mola que tem uma constante elástica de 120 N/m, passando por uma polia. A caixa parte do repouso com a mola na posição de equilíbrio. Queremos descobrir qual é a aceleração da caixa quando ela para momentaneamente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças em planos inclinados e a segunda lei de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama de forças para entender melhor o que está agindo na caixa. Existem duas forças principais:
-
Peso da caixa §: Essa força puxa a caixa para baixo, e pode ser decomposta em duas componentes:
- Paralela à rampa (Pₚ): Tende a puxar a caixa para baixo da rampa.
- Perpendicular à rampa (Pₙ): Pressiona a caixa contra a rampa.
-
Força da mola (Fₘ): Essa força age na direção oposta ao movimento da caixa, ou seja, se a caixa está descendo, a mola puxa para cima, e vice-versa.
Como não há atrito, não precisamos nos preocupar com resistências adicionais.
Passo 3
Vamos calcular as componentes do peso da caixa. O peso total § é dado por:
Onde:
- $ m = 2,00 , kg $
- $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
Então:
Agora, decompomos o peso:
- Paralela à rampa (Pₚ):
- Perpendicular à rampa (Pₙ):
Vamos calcular esses valores:
Passo 4
Agora, vamos considerar a força da mola. Como a mola está inicialmente na posição de equilíbrio, qualquer movimento da caixa estica ou comprime a mola, gerando uma força que tenta retornar à posição de equilíbrio. A força da mola (Fₘ) é dada por:
Onde:
- $ k = 120 , N/m $
- $ x $ é a deformação da mola.
No momento em que a caixa para momentaneamente, a aceleração pode mudar de sentido, mas a força da mola será proporcional à posição da mola no instante. Porém, como estamos procurando a aceleração naquele instante específico, vamos relacionar as forças para encontrar a aceleração.
Passo 5
Aplicando a segunda lei de Newton na direção paralela à rampa:
As forças atuando na direção paralela são:
- A componente do peso que puxa a caixa para baixo: $ Pₚ $
- A força da mola que puxa para cima: $ Fₘ $
Então:
Substituindo $ Fₘ = k \times x $:
Mas no momento em que a caixa para, a deformação da mola $ x $ é zero, pois está na posição de equilíbrio. Então:
Resposta
A aceleração da caixa quando ela para momentaneamente é de -6,3 m/s², indicando que está descendo a rampa.