Um instrumento cortante controlado por um microprocessador possui diversas forças atuando sobre ele. Uma das forças é dada por
, uma força orientada no sentido negativo do eixo y cujo módulo depende da posição do instrumento. Considere o deslocamento do instrumento desde a origem até o ponto (
).
Calcule o trabalho realizado pela força
sobre o instrumento para um deslocamento ao longo da reta
que conecta esses dois pontos.
Calcule o trabalho realizado pela força
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força
que atua sobre um instrumento que se move do ponto de origem até o ponto
ao longo da reta
. Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado por essa força durante esse deslocamento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de trabalho pelo produto escalar, que envolve integrar a força ao longo do trajeto seguido pelo objeto. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho. Trabalho (
) é uma quantidade que mede a energia transferida por uma força agindo sobre um objeto quando ele se desloca na direção da força. Matematicamente, é dado pelo produto escalar da força
pelo deslocamento diferencial
, integrado ao longo do caminho percorrido.
Passo 3
A fórmula para calcular o trabalho é:
Onde:
-
é a força aplicada. -
é um elemento infinitesimal do deslocamento. -
é o caminho seguido pelo objeto.
Passo 4
No nosso caso, o caminho
é a reta
que vai de
até
metros. Vamos parametrizar esse caminho. Como
, podemos usar
como parâmetro, variando de 0 a 3. Assim:
Passo 5
O deslocamento diferencial
é a derivada de
em relação a
multiplicada por
:
Passo 6
Agora, vamos expressar a força
em termos de
usando a parametrização do caminho. Sabemos que
, então substituímos
por
na expressão da força:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 8
Agora, substituímos na integral do trabalho:
Passo 9
Vamos resolver a integral:
Resposta
O trabalho realizado pela força
sobre o instrumento durante o deslocamento é de -50,625 J.