Um instrumento cortante controlado por um microprocessador possui diversas forças atuando sobre ele. Uma das forças é dada por F=-2,50 x y^2 j, uma força orientada no sentido negativo do eixo y cujo módulo depende da posição do instrumento. Considere o deslocamento do instrumento desde a origem até o ponto ( x=3,00 m, y=3,00 m ).
Calcule o trabalho realizado pela força F sobre o instrumento para um deslocamento ao longo da reta y=x que conecta esses dois pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força F = -2,50,x,y^2,j que atua sobre um instrumento que se move do ponto de origem até o ponto (3,00,m,,3,00,m) ao longo da reta y = x. Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado por essa força durante esse deslocamento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de trabalho pelo produto escalar, que envolve integrar a força ao longo do trajeto seguido pelo objeto. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho. Trabalho ( W) é uma quantidade que mede a energia transferida por uma força agindo sobre um objeto quando ele se desloca na direção da força. Matematicamente, é dado pelo produto escalar da força F pelo deslocamento diferencial dr, integrado ao longo do caminho percorrido.

Passo 3

A fórmula para calcular o trabalho é:
W = integralC F cdot dr
Onde:
  • F é a força aplicada.
  • dr é um elemento infinitesimal do deslocamento.
  • C é o caminho seguido pelo objeto.

Passo 4

No nosso caso, o caminho C é a reta y = x que vai de (0,0) até (3,3) metros. Vamos parametrizar esse caminho. Como y = x, podemos usar x como parâmetro, variando de 0 a 3. Assim:
r(x) = x,i + x,j

Passo 5

O deslocamento diferencial dr é a derivada de r(x) em relação a x multiplicada por dx:
dr = drdx dx = i + j , dx

Passo 6

Agora, vamos expressar a força F em termos de x usando a parametrização do caminho. Sabemos que y = x, então substituímos y por x na expressão da força:
F = -2,50,x,y^2,j = -2,50,x,x^2,j = -2,50,x^3,j

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (-2,50,x^3,j) cdot (i + j,dx) = -2,50,x^3 cdot 0 + (-2,50,x^3) cdot 1 ,dx = -2,50,x^3,dx

Passo 8

Agora, substituímos na integral do trabalho:
W = integral0^3 -2,50,x^3,dx

Passo 9

Vamos resolver a integral:
W = -2,50 integral0^3 x^3,dx = -2,50 [ x^44 ]0^3 = -2,50 ( 3^44 - 0 ) = -2,50 ( 814 ) = -2,50 times 20,25 = -50,625,J

Resposta

O trabalho realizado pela força F sobre o instrumento durante o deslocamento é de -50,625 J.

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