Determinar a probabilidade do lançamento de um dado equilibrado resultar em um número menor que 4.
a) Se não temos nenhuma outra informação.
b) Sabendo-se que o resultado é um número ímpar.

Passo 1

Vou colocar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Documento: temos um dado honesto (equilibrado) com faces numeradas de 1 a 6.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a probabilidade de o lançamento resultar em um número menor que 4?
    (b) Qual é a probabilidade de o lançamento resultar em um número menor que 4 sabendo-se que o resultado é um número ímpar?
  • Informação importante: o dado é equilibrado, ou seja, todos os resultados 1,2,3,4,5,6 são igualmente prováveis.

Passo 2

Definições e ideia básica que vamos usar (aula rápida):
  • Espaço amostral: denotar por S o conjunto de todos os resultados possíveis. Aqui
S=\{1,2,3,4,5,6\}.
O número de elementos de S é |S|=6.
  • Probabilidade clássica para resultados igualmente prováveis: se um evento E tem |E| resultados favoráveis e todos os |S| resultados são igualmente prováveis, então
P(E)=\frac{|E|}{|S|}.
Aqui |E| significa "quantos resultados satisfazem E" e |S| é o total de resultados possíveis.
Essa é a fórmula que usaremos no item (a).

Passo 3

Resolver o item (a):
  • Definir o evento A: "o resultado é menor que 4". Então
A=\{1,2,3\}.
  • Contar elementos: |A|=3 e já sabemos |S|=6.
  • Aplicar a fórmula da probabilidade clássica:
P(A)=\frac{|A|}{|S|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Interpretação rápida: metade das faces ( 1,2,3) são menores que 4, logo probabilidade 1/2.

Passo 4

Preparar a solução do item (b): conceito de probabilidade condicional (aula rápida):
  • Seja B o evento “o resultado é ímpar”. Então
B=\{1,3,5\},
com |B|=3.
  • A probabilidade condicional de A dado B, escrita P(A\mid B), mede a chance de A ocorrer quando já sabemos que B ocorreu. A definição é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
onde A\cap B é o evento “ocorre A e B ao mesmo tempo”.
  • Para resultados igualmente prováveis, é prático usar contagens dentro de B: a condicional equivale a considerar B como novo espaço amostral. Assim
P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.
Aqui explicando cada símbolo: |A\cap B| é quantos resultados são simultaneamente menores que 4 e ímpares; |B| é quantos resultados são ímpares no total.

Passo 5

Calcular P(A\mid B):
  • Primeiro achar a interseção:
A\cap B=\{1,3\},
portanto |A\cap B|=2.
  • Como já vimos |B|=3.
  • Aplicar a fórmula de contagem:
P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{2}{3}.
Interpretação intuitiva: sabendo que saiu um ímpar, os possíveis ímpares são 1,3,5; entre eles, dois ( 1 e 3) são menores que 4, logo 2 em 3, i.e., 2/3.

Resposta

(a) \frac{1}{2}
(b) \frac{2}{3}

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