Determinar a probabilidade do lançamento de um dado equilibrado resultar em um número menor que 4.
a) Se não temos nenhuma outra informação.
b) Sabendo-se que o resultado é um número ímpar.
a) Se não temos nenhuma outra informação.
b) Sabendo-se que o resultado é um número ímpar.
Passo 1
Vou colocar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos:
- Documento: temos um dado honesto (equilibrado) com faces numeradas de
a . - Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de o lançamento resultar em um número menor que?
(b) Qual é a probabilidade de o lançamento resultar em um número menor quesabendo-se que o resultado é um número ímpar? - Informação importante: o dado é equilibrado, ou seja, todos os resultados
são igualmente prováveis.
Passo 2
Definições e ideia básica que vamos usar (aula rápida):
- Espaço amostral: denotar por
o conjunto de todos os resultados possíveis. Aqui
O número de elementos de
é
.
- Probabilidade clássica para resultados igualmente prováveis: se um evento
tem resultados favoráveis e todos os resultados são igualmente prováveis, então
Aqui
significa "quantos resultados satisfazem
" e
é o total de resultados possíveis.
Essa é a fórmula que usaremos no item (a).
Essa é a fórmula que usaremos no item (a).
Passo 3
Resolver o item (a):
- Definir o evento
: "o resultado é menor que ". Então
- Contar elementos:
e já sabemos . - Aplicar a fórmula da probabilidade clássica:
Interpretação rápida: metade das faces (
) são menores que
, logo probabilidade
.
Passo 4
Preparar a solução do item (b): conceito de probabilidade condicional (aula rápida):
- Seja
o evento “o resultado é ímpar”. Então
com
.
- A probabilidade condicional de
dado , escrita , mede a chance de ocorrer quando já sabemos que ocorreu. A definição é
onde
é o evento “ocorre
e
ao mesmo tempo”.
- Para resultados igualmente prováveis, é prático usar contagens dentro de
: a condicional equivale a considerar como novo espaço amostral. Assim
Aqui explicando cada símbolo:
é quantos resultados são simultaneamente menores que
e ímpares;
é quantos resultados são ímpares no total.
Passo 5
Calcular
:
- Primeiro achar a interseção:
portanto
.
- Como já vimos
. - Aplicar a fórmula de contagem:
Interpretação intuitiva: sabendo que saiu um ímpar, os possíveis ímpares são
; entre eles, dois (
e
) são menores que
, logo
em
, i.e.,
.
Resposta
(a)
(b)
(b)