Em uma urna existem 3 bolas verdes e 2 amarelas. Calcule a probabilidade de que, em duas extrações sem reposição, as bolas sejam:
verdes
verdes
Passo 1
O enunciado diz que na urna há
bolas verdes e
bolas amarelas. Fazem-se duas extrações sem reposição. A pergunta é: qual a probabilidade de que as duas bolas extraídas sejam verdes?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Número de bolas verdes:
. - Número de bolas amarelas:
. - Total de bolas inicialmente:
. - Extrações:
extrações sem reposição (ou seja, a segunda extração ocorre com uma bola a menos e possivelmente menos bolas verdes, dependendo da primeira).
O objetivo é calcular.
Passo 2
Conceito e método: quando extraímos objetos sem reposição em sequência, usamos a regra do produto para probabilidades condicionais:
onde
é a probabilidade de
ocorrer dado que
já ocorreu. Aqui,
= “primeira bola é verde” e
= “segunda bola é verde”. Isso significa: calcular a probabilidade da primeira ser verde e, depois, multiplicar pela probabilidade da segunda ser verde sabendo que a primeira já foi verde. Vou explicar cada termo:
-
= número de resultados favoráveis para dividido pelo número total de resultados iniciais. -
= número de resultados favoráveis para após dividido pelo número total de resultados restantes após .
Passo 3
Calcular
. Há
bolas verdes entre
bolas no total, então
Explicação simples: em uma primeira retirada aleatória qualquer um dos 5 itens pode sair; 3 desses itens atendem à condição “verde”.
Passo 4
Calcular
. Como não há reposição e a primeira foi verde, sobra
bolas verdes e o total de bolas passa a ser
. Assim,
Explicação: após retirar uma verde, entre as 4 bolas restantes, 2 são verdes.
Passo 5
Aplicar a regra do produto para obter a probabilidade das duas serem verdes:
Isso já é a resposta. Interpretação: há
de chance de ambas serem verdes.
Passo 6
Método alternativo (combinatório) — útil para exames: escolher 2 bolas verdes dentre as 3 e dividir pelo número de formas de escolher quaisquer 2 bolas dentre as 5. Usando combinações:
porque
e
. Resultado coincide com o método sequencial acima.