Uma caixa com 20 latas de óleo de girassol contém 4 com peso liquido abaixo do especificado e 16 de acordo com a especificação. Três latas são escolhidas ao acaso, sem reposição, e classificadas. Determine a probabilidade de que seja encontrada exatamente 1 lata com peso liquido abaixo do especificado?

Passo 1

O enunciado diz que numa coleção de N=20 latas há K=4 latas com peso abaixo do especificado (defeituosas) e N-K=16 conforme a especificação. Selecionam-se n=3 latas sem reposição e pede-se a probabilidade de exatamente k=1 lata defeituosa. O conteúdo a usar é a distribuição hipergeométrica, que descreve a probabilidade de obter k “sucessos” em n extrações sem reposição de uma população finita.

Passo 2

A fórmula da probabilidade hipergeométrica é
P(X = k) \;=\; \frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}
onde \displaystyle \binom{K}{k} conta as formas de escolher k defeituosas, \displaystyle \binom{N-K}{n-k} conta as formas de escolher n-k não-defeituosas,
e \displaystyle \binom{N}{n} é o total de maneiras de escolher n latas.

Passo 3

Aplicando N=20, K=4, n=3, k=1:
\binom{4}{1} = 4, \quad \binom{16}{2} = \frac{16\cdot15}{2} = 120, \quad \binom{20}{3} = \frac{20\cdot19\cdot18}{6} = 1140.
Logo o numerador é
4 \times 120 = 480
e o denominador é 1140. Assim
P(X=1) = \frac{480}{1140}.

Passo 4

Agora simplificamos a fração \tfrac{480}{1140}. Dividindo numerador e denominador por 60, obtemos
\frac{480}{1140} = \frac{8}{19} \approx 0,4211.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{19} (aproximadamente 0,4211).

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