Uma caixa de 30 kg encontra-se em um plano inclinado de ângulo 20^{\circ} \mathrm{com} a horizontal. Qual deve ser o valor mínimo do coeficiente de atrito estático para que a caixa permaneça em repouso?

Passo 1

O enunciado dá uma caixa de massa m = 30\,\mathrm{kg} apoiada num plano inclinado de ângulo \theta = 20^\circ em relação à horizontal. Precisamos encontrar o coeficiente mínimo de atrito estático \mu_s para que a caixa permaneça em repouso. O conteúdo envolve decomposição de forças num plano inclinado e condição de equilíbrio estático com atrito.

Passo 2

Desenhando o diagrama de forças, temos o peso \vec P apontando verticalmente para baixo. Decompomos \vec P em duas componentes em relação ao plano:
P_{\parallel} = m\,g\,\sin\theta\quad\text{(paralela ao plano, para baixo)}
N = m\,g\,\cos\theta\quad\text{(normal ao plano)}

Passo 3

Para não deslizar, a força de atrito estático máxima
f_{s,\max} = \mu_s\,N
deve ser pelo menos igual ao componente paralela do peso:
\mu_s\,N \ge P_{\parallel}.
Substituindo N e P_{\parallel}:
\mu_s\,(m\,g\,\cos\theta) \ge m\,g\,\sin\theta.

Passo 4

Cancelando m\,g dos dois lados, resta
\mu_s \ge \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta.
Para \theta = 20^\circ,
\mu_s \ge \tan(20^\circ) \approx 0,364.

Resposta

O valor mínimo do coeficiente de atrito estático é
\mu_s \approx 0,364.

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