Duas cascas esféricas condutoras e concêntricas possuem raios de 5.0 cm e 10.0 cm . A carga na casca interna é q_{1}=+6,00 \times 10^{-8} \mathrm{C}, e na casca externa é q_{2}=-9,00 \times 10^{-8} \mathrm{C}. Determine o módulo e a orientação (radial para dentro ou para fora) do campo elétrico nos seguintes pontos, medidos a partir do centro das cascas:
r=20.0 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado descreve duas cascas esféricas condutoras concêntricas, de raios 5{,}0\:\mathrm{cm} e 10{,}0\:\mathrm{cm}, com cargas q_{1}=+6{,}00\times10^{-8}\:\mathrm{C} e q_{2}=-9{,}00\times10^{-8}\:\mathrm{C}. Queremos o campo elétrico para r=20{,}0\:\mathrm{cm}. O conteúdo principal é a Lei de Gauss para esferas condutoras, segundo a qual, fora da casca externa, o campo é equivalente ao de uma carga pontual igual à soma das cargas internas.

Passo 2

Para r=20{,}0\:\mathrm{cm}=0{,}20\:\mathrm{m}, toda a carga interna está contida num volume gaussiano esférico. A carga total envolvida é
q_{\text{enc}} = q_{1} + q_{2} = +6{,}00\times10^{-8}\:\mathrm{C} \;+\;(-9{,}00\times10^{-8}\:\mathrm{C}) = -3{,}00\times10^{-8}\:\mathrm{C}.

Passo 3

Pela Lei de Gauss, para r maior que o raio da casca externa, o módulo do campo é
E(r) \;=\;\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{\bigl|q_{\text{enc}}\bigr|}{r^{2}}
ou, usando k=1/(4\pi\epsilon_{0})=8{,}99\times10^{9}\:\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},
E(0{,}20) = \frac{8{,}99\times10^{9}\times3{,}00\times10^{-8}}{(0{,}20)^{2}} \approx 6{,}74\times10^{3}\:\mathrm{N/C}.

Passo 4

Como q_{\text{enc}}<0, as linhas de campo entram no condutor, ou seja, o vetor \mathbf{E} aponta radialmente para dentro.

Resposta

O campo elétrico em r=20{,}0\:\mathrm{cm} tem módulo
E = 6{,}74\times10^{3}\:\mathrm{N/C}
e direção radial para dentro.

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