Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 10 são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é

Passo 1

O enunciado nos dá uma caixa com 40 moedas:
  • 5 são duplamente caras (HH),
  • 10 são normais (HC),
  • 25 são duplamente coroas (CC).
    Retiramos uma moeda ao acaso e observamos uma face que mostra coroa. Queremos a probabilidade de que a outra face dessa mesma moeda seja também coroa.
    O conteúdo necessário é probabilidade condicional e Teorema da Probabilidade Total (ou Bayes).

Passo 2

Vamos calcular primeiro a probabilidade de observar coroa, P(T), usando o Teorema da Probabilidade Total. Denotando por C_{HH}, C_{HC} e C_{CC} os eventos de escolhermos cada tipo de moeda, temos:
P(T) = P(C_{HH})\,P(T\mid C_{HH}) +P(C_{HC})\,P(T\mid C_{HC}) +P(C_{CC})\,P(T\mid C_{CC}).
Sabendo que
P(C_{HH})=\frac{5}{40},\; P(C_{HC})=\frac{10}{40},\; P(C_{CC})=\frac{25}{40},
e que
P(T\mid C_{HH})=0,\quad P(T\mid C_{HC})=\frac12,\quad P(T\mid C_{CC})=1,
segue
P(T) =\frac{5}{40}\cdot 0 +\frac{10}{40}\cdot \frac12 +\frac{25}{40}\cdot 1 =\frac{1}{8}+\frac{25}{40} =\frac{30}{40} =\frac{3}{4}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de Bayes para encontrar
P(C_{CC}\mid T) =\frac{P(C_{CC})\,P(T\mid C_{CC})}{P(T)} =\frac{\displaystyle \frac{25}{40}\cdot 1}{\displaystyle \frac{30}{40}} =\frac{25}{30} =\frac{5}{6}.

Resposta

A probabilidade de que a outra face seja também coroa é \displaystyle \frac{5}{6}.

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