(2.0 pts.) Determine o coeficiente de x^{46} no desenvolvimento de
\left(x^{2}+1\right)^{12}\left(x^{3}+2\right)^{8}

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar o coeficiente de x^{46} no produto (x^2+1)^{12}(x^3+2)^8. Vamos usar o Teorema Binomial para expandir cada fator e depois combinar as potências de x.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial temos
(x^2+1)^{12} = \sum_{i=0}^{12} \binom{12}{i} (x^2)^i = \sum_{i=0}^{12} \binom{12}{i} x^{2i}
e
(x^3+2)^{8} = \sum_{j=0}^{8} \binom{8}{j} (x^3)^j 2^{8-j} = \sum_{j=0}^{8} \binom{8}{j}2^{8-j}x^{3j}.

Passo 3

Ao multiplicar as duas somas, o termo x^{46} surge quando
2i + 3j = 46,
com 0 \le i \le 12 e 0 \le j \le 8. Testando valores de j pares (para manter o lado direito par), vemos que a única solução viável é
j=8,\quad i=\frac{46-3\cdot8}{2}=\frac{46-24}{2}=11,
pois para outros j ou i fogem dos intervalos permitidos.

Passo 4

O coeficiente procurado é o produto dos coeficientes binomiais e da potência de 2 correspondentes a (i,j)=(11,8):
\binom{12}{11}\;\binom{8}{8}\;2^{8-8} = 12\cdot1\cdot1 = 12.

Resposta

12

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