(2.0 pts.) Joga-se uma moeda não viciada. Qual é a probabilidade de serem obtidas 4 caras antes de 3 coroas?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao lançar repetidamente uma moeda honesta (caras e coroas com probabilidade \tfrac12 cada), obter 4 caras antes de obter 3 coroas. O conteúdo aqui é a distribuição binomial negativa (ou corrida de contadores): cabe usar a probabilidade de que a 4ª cara ocorra quando ainda faltam coroas para chegar a 3.

Passo 2

Chamemos de p=\tfrac12 a probabilidade de cara e q=1-p=\tfrac12 a de coroa. Para que as 4 caras apareçam antes das 3 coroas, a 4ª cara deve acontecer no lançamento N=4+k com exatamente k coroas já ocorridas, sendo k=0,1,2. Nesse instante ainda não se atingiram 3 coroas, pois k\le2.

Passo 3

A probabilidade de a 4ª cara vir exatamente no lançamento N=4+k com k coroas antes é, pela binomial negativa,
P(N=4+k)=\binom{(4+k)-1}{4-1}\,p^{4}\,q^{k} =\binom{3+k}{3}\,p^{4}\,q^{k}.
Como só interessam os casos k=0,1,2, somamos esses três termos.

Passo 4

Substituindo p=q=\tfrac12 e somando de k=0 a 2:
P =\sum_{k=0}^{2}\binom{3+k}{3}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{4+k} =\binom{3}{3}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{4} +\binom{4}{3}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{5} +\binom{5}{3}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{6}.

Passo 5

Calculando termo a termo:
\binom{3}{3}\tfrac1{16}=1\cdot\tfrac1{16}=\tfrac2{32},\quad \binom{4}{3}\tfrac1{32}=4\cdot\tfrac1{32}=\tfrac4{32},\quad \binom{5}{3}\tfrac1{64}=10\cdot\tfrac1{64}=\tfrac5{32}.
Somando,
P=\tfrac2{32}+\tfrac4{32}+\tfrac5{32}=\tfrac{11}{32}.

Resposta

A probabilidade de obter 4 caras antes de 3 coroas é \tfrac{11}{32}.

Exercícios relacionados