(2.0 pts.) Joga-se uma moeda não viciada. Qual é a probabilidade de serem obtidas 4 caras antes de 3 coroas?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, ao lançar repetidamente uma moeda honesta (caras e coroas com probabilidade
cada), obter 4 caras antes de obter 3 coroas. O conteúdo aqui é a distribuição binomial negativa (ou corrida de contadores): cabe usar a probabilidade de que a 4ª cara ocorra quando ainda faltam coroas para chegar a 3.
Passo 2
Chamemos de
a probabilidade de cara e
a de coroa. Para que as 4 caras apareçam antes das 3 coroas, a 4ª cara deve acontecer no lançamento
com exatamente
coroas já ocorridas, sendo
. Nesse instante ainda não se atingiram 3 coroas, pois
.
Passo 3
A probabilidade de a 4ª cara vir exatamente no lançamento
com
coroas antes é, pela binomial negativa,
Como só interessam os casos
, somamos esses três termos.
Passo 4
Substituindo
e somando de
a
:
Passo 5
Calculando termo a termo:
Somando,
Resposta
A probabilidade de obter 4 caras antes de 3 coroas é
.