Seja W(t), t \geq 0, um processo de Wiener padrão. Mostre que a função de covariância de W(t) é dada por:
\operatorname{Cov}(W(s), W(t))=\min (s, t)
para s, t \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no processo de Wiener padrão W(t) (também chamado de movimento browniano) com t\ge0, a covariância entre W(s) e W(t) é
\operatorname{Cov}(W(s),W(t))=\min(s,t).
Para isso vamos usar as definições de covariância, as propriedades:
  1. \mathbb{E}[W(t)]=0 para todo t,
  2. incrementos independentes,
  3. \operatorname{Var}(W(t))=t.

Passo 2

Por definição de covariância temos
\operatorname{Cov}(W(s),W(t)) =\mathbb{E}\bigl[W(s)\,W(t)\bigr] -\mathbb{E}[W(s)]\,\mathbb{E}[W(t)].
Como \mathbb{E}[W(s)]=\mathbb{E}[W(t)]=0, segue
\operatorname{Cov}(W(s),W(t))=\mathbb{E}\bigl[W(s)\,W(t)\bigr].

Passo 3

Sem perda de generalidade, suponha s\le t. Então escrevemos
W(t)=W(s)+\bigl(W(t)-W(s)\bigr).
Multiplicando por W(s) e tomando esperança,
\mathbb{E}\bigl[W(s)\,W(t)\bigr] =\mathbb{E}\bigl[W(s)^2\bigr] +\mathbb{E}\bigl[W(s)\,(W(t)-W(s))\bigr].
Pela independência de W(s) e do incremento W(t)-W(s) e como \mathbb{E}[W(t)-W(s)]=0, o segundo termo vale zero. Então
\mathbb{E}\bigl[W(s)\,W(t)\bigr] =\mathbb{E}\bigl[W(s)^2\bigr] =\operatorname{Var}(W(s))=s.

Passo 4

Logo, para s\le t temos
\operatorname{Cov}(W(s),W(t))=s=\min(s,t).
Se t<s, trocando os papéis de s e t a mesma conta dá \operatorname{Cov}(W(s),W(t))=t. Em ambos os casos a covariância é \min(s,t).

Resposta

\operatorname{Cov}(W(s),W(t))=\min(s,t))

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