Seja
, um processo de Wiener padrão. Mostre que a função de covariância de
é dada por:
para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no processo de Wiener padrão
(também chamado de movimento browniano) com
, a covariância entre
e
é
Para isso vamos usar as definições de covariância, as propriedades:
-
para todo , - incrementos independentes,
-
.
Passo 2
Por definição de covariância temos
Como
, segue
Passo 3
Sem perda de generalidade, suponha
. Então escrevemos
Multiplicando por
e tomando esperança,
Pela independência de
e do incremento
e como
, o segundo termo vale zero. Então
Passo 4
Logo, para
temos
Se
, trocando os papéis de
e
a mesma conta dá
. Em ambos os casos a covariância é
.