Uma caixa aberta será construída com um pedaço de papelão de 18 cm de lado, removendo-se um quadrado pequeno de cada vértice do papelão e dobrando-se o papelão para formar os lados. Quais são as dimensões da caixa de maior volume possível que pode ser construída desta maneira?
Passo 1
Vamos entender o problema: queremos construir uma caixa aberta a partir de um pedaço de papelão quadrado de 18 cm de lado. Para isso, vamos cortar quadrados iguais de cada canto e depois dobrar as laterais. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria e otimização para descobrir qual tamanho desses quadrados maximiza o volume da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o tamanho do quadrado que será cortado de cada canto como
cm. Ao cortar esses quadrados, a base da caixa terá dimensões reduzidas. Como estamos cortando
de cada lado, a nova largura e comprimento da base serão
cm. A altura da caixa será exatamente
cm, já que é a parte dobrada.
Passo 3
Agora, vamos expressar o volume
da caixa em função de
. O volume de um paralelepípedo é dado por comprimento × largura × altura. Portanto:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso nos dará os pontos críticos que podem corresponder a máximos ou mínimos.
Passo 5
Primeiro, expandimos a expressão do volume:
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 7
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:
Passo 8
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos duas soluções:
Passo 9
Analisando as soluções no contexto do problema,
cm não faz sentido porque cortar 9 cm de cada lado de um papelão de 18 cm deixaria a base com comprimento zero. Assim, a única solução viável é
cm.
Passo 10
Com
cm, calculamos as dimensões da caixa:
- Altura:
cm - Comprimento e largura:
cm
Resposta
As dimensões da caixa de maior volume são 12 cm × 12 cm × 3 cm.