Uma caixa aberta será construída com um pedaço de papelão de 18 cm de lado, removendo-se um quadrado pequeno de cada vértice do papelão e dobrando-se o papelão para formar os lados. Quais são as dimensões da caixa de maior volume possível que pode ser construída desta maneira?

Passo 1

Vamos entender o problema: queremos construir uma caixa aberta a partir de um pedaço de papelão quadrado de 18 cm de lado. Para isso, vamos cortar quadrados iguais de cada canto e depois dobrar as laterais. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria e otimização para descobrir qual tamanho desses quadrados maximiza o volume da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o tamanho do quadrado que será cortado de cada canto como x cm. Ao cortar esses quadrados, a base da caixa terá dimensões reduzidas. Como estamos cortando x de cada lado, a nova largura e comprimento da base serão 18 - 2x cm. A altura da caixa será exatamente x cm, já que é a parte dobrada.

Passo 3

Agora, vamos expressar o volume V da caixa em função de x . O volume de um paralelepípedo é dado por comprimento × largura × altura. Portanto:
V(x) = x times (18 - 2x) times (18 - 2x)
Simplificando:
V(x) = x(18 - 2x)^2

Passo 4

Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, precisamos derivar a função V(x) em relação a x e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso nos dará os pontos críticos que podem corresponder a máximos ou mínimos.

Passo 5

Primeiro, expandimos a expressão do volume:
V(x) = x(18 - 2x)^2 = x(324 - 72x + 4x^2) = 324x - 72x^2 + 4x^3

Passo 6

Agora, derivamos V(x) em relação a x :
V'(x) = 324 - 144x + 12x^2

Passo 7

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
324 - 144x + 12x^2 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:
27 - 12x + x^2 = 0

Passo 8

Resolvemos a equação quadrática x^2 - 12x + 27 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = 12 pm raiz144 - 1082 = 12 pm raiz362 = 12 pm 62
Portanto, temos duas soluções:
x = 9 ou x = 3

Passo 9

Analisando as soluções no contexto do problema, x = 9 cm não faz sentido porque cortar 9 cm de cada lado de um papelão de 18 cm deixaria a base com comprimento zero. Assim, a única solução viável é x = 3 cm.

Passo 10

Com x = 3 cm, calculamos as dimensões da caixa:
  • Altura: 3 cm
  • Comprimento e largura: 18 - 2 times 3 = 12 cm

Resposta

As dimensões da caixa de maior volume são 12 cm × 12 cm × 3 cm.

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