Dispõe-se de 320 m de arame para cercar uma área retangular. Como se deve usar esse material de modo que a região cercada seja a maior possível?
Passo 1
O enunciado diz que temos
,m de arame para cercar um retângulo e quer maximizar a área dessa região. O conteúdo é otimização de função de uma variável, usando a relação perímetro versus lados do retângulo e aplicando derivada para encontrar o máximo.
Passo 2
Definimos as variáveis: seja
e
os comprimentos dos dois lados do retângulo. Como o perímetro é fixo em
,m, a restrição é
Dessa equação tiramos
Passo 3
A área do retângulo em função de
é
Note que
é uma parábola com concavidade para baixo, então seu vértice é o máximo.
Passo 4
Para achar o vértice, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Como
, esse ponto é realmente um máximo.
Passo 5
Substituindo
em
, temos
. Ou seja, o retângulo de maior área é aquele em que
,m, isto é, um quadrado.
Resposta
O arame deve formar um quadrado de lados iguais a
,m, obtendo-se área máxima de
,
.