Dispõe-se de 320 m de arame para cercar uma área retangular. Como se deve usar esse material de modo que a região cercada seja a maior possível?

Passo 1

O enunciado diz que temos 320,m de arame para cercar um retângulo e quer maximizar a área dessa região. O conteúdo é otimização de função de uma variável, usando a relação perímetro versus lados do retângulo e aplicando derivada para encontrar o máximo.

Passo 2

Definimos as variáveis: seja x e y os comprimentos dos dois lados do retângulo. Como o perímetro é fixo em 320,m, a restrição é
2(x + y) = 320
Dessa equação tiramos
y = 160 - x

Passo 3

A área do retângulo em função de x é
A(x) = x cdot y = x(160 - x) = 160x - x^2
Note que A(x) é uma parábola com concavidade para baixo, então seu vértice é o máximo.

Passo 4

Para achar o vértice, calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = 160 - 2x = 0 Longrightarrow x = 80
Como A''(x) = -2 < 0, esse ponto é realmente um máximo.

Passo 5

Substituindo x = 80 em y = 160 - x, temos y = 80. Ou seja, o retângulo de maior área é aquele em que x = y = 80,m, isto é, um quadrado.

Resposta

O arame deve formar um quadrado de lados iguais a 80,m, obtendo-se área máxima de 80 times 80 = 6400, m^2.

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