Uma confeitaria vende certo tipo de biscoito por
6,00
\mathrm{R} $1,00
R $ 4,00$. Por quanto a confeitaria deverá vender o biscoito para obter o maior lucro possível?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma confeitaria que vende biscoito por R$6,00 cada e vende 3.000 por mês. Agora, eles querem aumentar o preço, mas cada aumento de R$1,00 faz com que vendam 1.000 biscoitos a menos. O custo de cada biscoito é de R$4,00. Nosso objetivo aqui é descobrir qual preço eles devem colocar para maximizar o lucro. Para isso, vamos usar conceitos de funções de lucro e derivadas para encontrar o ponto ideal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a quantidade vendida muda com o preço. Se o preço aumenta R$1,00, as vendas diminuem 1.000 unidades. Vamos chamar o aumento no preço de
. Então, o novo preço será
reais, e a nova quantidade vendida será
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o lucro. O lucro é a receita menos o custo. A receita é o preço vezes a quantidade vendida, ou seja,
. O custo total é o custo de produção por biscoito multiplicado pela quantidade, que é
.
Passo 4
Então, a função lucro
fica assim:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Primeiro, vamos expandir os termos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Rearranjando:
Passo 7
Para encontrar o valor de
que maximiza o lucro, vamos derivar a função lucro em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 8
Então, o aumento ideal no preço é de R$0,20. Portanto, o preço que a confeitaria deve cobrar para obter o maior lucro possível é:
Resposta
A confeitaria deve vender cada biscoito por R$6,20 para obter o maior lucro possível.