Uma confeitaria vende certo tipo de biscoito por 6,00 çéêç\mathrm{R} $1,00 çááêçéR $ 4,00$. Por quanto a confeitaria deverá vender o biscoito para obter o maior lucro possível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma confeitaria que vende biscoito por R$6,00 cada e vende 3.000 por mês. Agora, eles querem aumentar o preço, mas cada aumento de R$1,00 faz com que vendam 1.000 biscoitos a menos. O custo de cada biscoito é de R$4,00. Nosso objetivo aqui é descobrir qual preço eles devem colocar para maximizar o lucro. Para isso, vamos usar conceitos de funções de lucro e derivadas para encontrar o ponto ideal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a quantidade vendida muda com o preço. Se o preço aumenta R$1,00, as vendas diminuem 1.000 unidades. Vamos chamar o aumento no preço de 1,00, as vendas diminuem 1.000 unidades Vamos chamar o aumento no preço de . Então, o novo preço será Então, o novo preço será reais, e a nova quantidade vendida será reais, e a nova quantidade vendida será .

Passo 3

Agora, vamos calcular o lucro. O lucro é a receita menos o custo. A receita é o preço vezes a quantidade vendida, ou seja, (6 + x)(3000 - 1000x) . O custo total é o custo de produção por biscoito multiplicado pela quantidade, que é 4 times (3000 - 1000x) .

Passo 4

Então, a função lucro L(x) fica assim:
L(x) = (6 + x)(3000 - 1000x) - 4(3000 - 1000x)
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Primeiro, vamos expandir os termos:
L(x) = 6 times 3000 + 6 times (-1000x) + x times 3000 + x times (-1000x) - 4 times 3000 + 4 times 1000x
Simplificando:
L(x) = 18000 - 6000x + 3000x - 1000x^2 - 12000 + 4000x

Passo 6

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
L(x) = (18000 - 12000) + (-6000x + 3000x + 4000x) - 1000x^2
L(x) = 6000 + 400x - 1000x^2
Rearranjando:
L(x) = -1000x^2 + 400x + 6000

Passo 7

Para encontrar o valor de x que maximiza o lucro, vamos derivar a função lucro em relação a x e igualar a zero:
dLdx = -2000x + 400 = 0
Resolvendo para x :
-2000x + 400 = 0 -2000x = -400 x = 4002000 x = 0,2

Passo 8

Então, o aumento ideal no preço é de R$0,20. Portanto, o preço que a confeitaria deve cobrar para obter o maior lucro possível é:

Resposta

A confeitaria deve vender cada biscoito por R$6,20 para obter o maior lucro possível.

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