Uma caixa aberta no topo deve ser feita com uma folha de papelão medindo 68 por 72 cm. cortando fora quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando-se os lados.
Qual é tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?

Passo 1

Estamos lidando com a construção de uma caixa aberta de altura x, obtida ao cortar quadrados de lado x nos quatro cantos de uma folha de 68
cm por 72
cm e dobrar as abas. O assunto aqui é otimização de volume usando derivadas, e vamos precisar modelar o volume em função de x e achar onde sua derivada zera.

Passo 2

Depois de cortar quadrados de lado x, a base da caixa fica com dimensões (68

2x) por (72

2x) e a altura é x. Assim, a função volume é
V(x) = x,(68 - 2x),(72 - 2x)

Passo 3

O domínio viável de x decorre de 68

2x>0 e 72

2x>0, ou seja, x>0 e x<34. Logo, buscamos máximo de V(x) para 0<x<34.

Passo 4

Para usar o teste de máximos, expandimos e derivamos:
V(x)=x,(4896 - 280x + 4x^2)=4x^3 - 280x^2 + 4896x,
V'(x)=12x^2 - 560x + 4896

Passo 5

Igualando a derivada a zero temos
12x^2 - 560x + 4896 = 0
Dividindo tudo por 4 dá
3x^2 - 140x + 1224 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
x = 140 pm raiz140^2 - 4cdot3cdot12246 = 140 pm raiz49126

Passo 6

Calculando as raízes, chega-se a x≈35,01
cm e x≈11,65
cm. Como 35,01
cm ultrapassa o limite x<34
cm, a única raiz válida é x≈11,65
cm. Nos extremos do intervalo (x→0 ou x→34) o volume também é zero, confirmando que x≈11,65
cm dá o máximo.

Passo 7

Portanto, para maximizar o volume da caixa, cada quadrado cortado deve ter lado de aproximadamente 11,65
cm.

Resposta

Os quadrados devem ter aproximadamente 11,65 cm de lado.

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