Uma caixa aberta no topo deve ser feita com uma folha de papelão medindo 68 por 72 cm. cortando fora quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando-se os lados.
Qual é tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?
Qual é tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?
Passo 1
Estamos lidando com a construção de uma caixa aberta de altura x, obtida ao cortar quadrados de lado x nos quatro cantos de uma folha de 68
cm por 72
cm e dobrar as abas. O assunto aqui é otimização de volume usando derivadas, e vamos precisar modelar o volume em função de x e achar onde sua derivada zera.
cm por 72
cm e dobrar as abas. O assunto aqui é otimização de volume usando derivadas, e vamos precisar modelar o volume em função de x e achar onde sua derivada zera.
Passo 2
Depois de cortar quadrados de lado x, a base da caixa fica com dimensões (68
–
2x) por (72
–
2x) e a altura é x. Assim, a função volume é
–
2x) por (72
–
2x) e a altura é x. Assim, a função volume é
Passo 3
O domínio viável de x decorre de 68
–
2x>0 e 72
–
2x>0, ou seja, x>0 e x<34. Logo, buscamos máximo de V(x) para 0<x<34.
–
2x>0 e 72
–
2x>0, ou seja, x>0 e x<34. Logo, buscamos máximo de V(x) para 0<x<34.
Passo 4
Para usar o teste de máximos, expandimos e derivamos:
Passo 5
Igualando a derivada a zero temos
Dividindo tudo por 4 dá
Pela fórmula de Bhaskara,
Passo 6
Calculando as raízes, chega-se a x≈35,01
cm e x≈11,65
cm. Como 35,01
cm ultrapassa o limite x<34
cm, a única raiz válida é x≈11,65
cm. Nos extremos do intervalo (x→0 ou x→34) o volume também é zero, confirmando que x≈11,65
cm dá o máximo.
cm e x≈11,65
cm. Como 35,01
cm ultrapassa o limite x<34
cm, a única raiz válida é x≈11,65
cm. Nos extremos do intervalo (x→0 ou x→34) o volume também é zero, confirmando que x≈11,65
cm dá o máximo.
Passo 7
Portanto, para maximizar o volume da caixa, cada quadrado cortado deve ter lado de aproximadamente 11,65
cm.
cm.
Resposta
Os quadrados devem ter aproximadamente 11,65 cm de lado.