Uma caixa com 5 aparelhos de telefone celular contém dois aparelhos com defeitos. Um comprador escolhe aleatoriamente 3 deles. Seja
é o número de aparelhos com defeitos dentre os três comprados.
a) Escreva a função (massa) de probabilidade
de X .
b) Calcule a probabilidade de pelo menos um aparelho comprador ser defeituoso.
c) Calcule
e
.
a) Escreva a função (massa) de probabilidade
b) Calcule a probabilidade de pelo menos um aparelho comprador ser defeituoso.
c) Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Há uma caixa com
aparelhos, dos quais estão com defeito e estão em perfeito estado. - Um comprador escolhe aleatoriamente
aparelhos, sem reposição (ou seja, amostragem sem reposição). - Seja
o número de aparelhos defeituosos dentre os escolhidos.
O enunciado pede:
a) Escrever a função massa de probabilidade de
.
b) Calcular a probabilidade de que pelo menos um aparelho comprado seja defeituoso, isto é .
c) Calcular e
.
a) Escrever a função massa de probabilidade
b) Calcular a probabilidade de que pelo menos um aparelho comprado seja defeituoso, isto é
c) Calcular
Passo 2
Entender que tipo de distribuição e a fórmula a usar (explicação didática de como raciocinar).
- Como a amostragem é feita sem reposição de uma população finita com um número fixo de sucessos (defeituosos),
segue a distribuição hipergeométrica. - A fórmula geral da massa de probabilidade da hipergeométrica é:
onde:
-
é o tamanho da população ( aqui), -
é o número de sucessos na população (número de defeituosos, ), -
é o tamanho da amostra ( ), -
é o número de sucessos observados na amostra (valores possíveis de ). - Explicando os termos:
conta de quantas formas escolher defeituosos dentre os ; conta as formas de escolher os restantes não-defeituosos; é o total de maneiras de escolher aparelhos dentre . A probabilidade é a razão entre casos favoráveis e casos totais.
Passo 3
Determinar os valores possíveis de
e calcular o denominador
.
- Os valores possíveis de
são . Não pode ser 3 porque só existem defeituosos na população. - Calcular
:
Portanto o número total de maneiras de escolher
aparelhos dentre
é
. Esse será o denominador nas probabilidades.
Passo 4
Calcular
passo a passo (nenhum defeituoso na amostra).
- Pelo fórmula:
- Avaliando cada combinação:
(escolher 0 defeituosos), (escolher 3 não-defeituosos entre os 3 disponíveis). - Logo
Interpretação: há apenas uma maneira (pegar os 3 bons) dentre 10 maneiras possíveis, logo probabilidade
.
Passo 5
Calcular
passo a passo (exatamente 1 defeituoso).
- Pela fórmula:
- Avaliando:
(escolher 1 defeituoso entre 2), (escolher 2 bons entre 3). - Logo
Passo 6
Calcular
passo a passo (exatamente 2 defeituosos).
- Pela fórmula:
- Avaliando:
, . - Logo
- Conferência:
. Somatório igual a , como esperado.
Passo 7
Calcular
usando complemento (maneira rápida e segura).
- É mais simples usar o complemento:
. - Já calculamos
, então
Passo 8
Calcular
e explicar a fórmula usada.
- Para a distribuição hipergeométrica existe uma fórmula direta para a esperança:
onde os termos já foram definidos (
,
,
). A intuição: a fração
é a proporção de defeituosos na população; multiplicando por
obtém-se o número médio esperado de defeituosos na amostra.
- Substituindo:
Passo 9
Calcular
e explicar a fórmula usada.
- A variância da hipergeométrica é
Explicação das partes:
-
é análogo à variância da binomial com , - o fator
ajusta pela retirada sem reposição (é chamado de fator de correção pela população finita). - Substituindo
, , :
- Calcular passo a passo:
-
; . -
. - Então
-
- Simplificando:
Resposta
a)
para
;\quad
.
b) .
c) ;\quad
.
b)
c)