Uma caixa com 5 aparelhos de telefone celular contém dois aparelhos com defeitos. Um comprador escolhe aleatoriamente 3 deles. Seja X é o número de aparelhos com defeitos dentre os três comprados.
a) Escreva a função (massa) de probabilidade \mathrm{f}(\mathrm{x}) de X .
b) Calcule a probabilidade de pelo menos um aparelho comprador ser defeituoso.
c) Calcule \mathrm{E}(\mathrm{X}) e \operatorname{Var}(\mathrm{X}).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Há uma caixa com 5 aparelhos, dos quais 2 estão com defeito e 3 estão em perfeito estado.
  • Um comprador escolhe aleatoriamente 3 aparelhos, sem reposição (ou seja, amostragem sem reposição).
  • Seja X o número de aparelhos defeituosos dentre os 3 escolhidos.
O enunciado pede:
a) Escrever a função massa de probabilidade \mathrm{f}(x) de X.
b) Calcular a probabilidade de que pelo menos um aparelho comprado seja defeituoso, isto é P(X\ge 1).
c) Calcular \mathrm{E}(X) e \operatorname{Var}(X).

Passo 2

Entender que tipo de distribuição e a fórmula a usar (explicação didática de como raciocinar).
  • Como a amostragem é feita sem reposição de uma população finita com um número fixo de sucessos (defeituosos), X segue a distribuição hipergeométrica.
  • A fórmula geral da massa de probabilidade da hipergeométrica é:
P(X=x)=\frac{\binom{K}{x}\,\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}},
onde:
  • N é o tamanho da população ( N=5 aqui),
  • K é o número de sucessos na população (número de defeituosos, K=2),
  • n é o tamanho da amostra ( n=3),
  • x é o número de sucessos observados na amostra (valores possíveis de X).
  • Explicando os termos: \binom{K}{x} conta de quantas formas escolher x defeituosos dentre os K; \binom{N-K}{n-x} conta as formas de escolher os restantes não-defeituosos; \binom{N}{n} é o total de maneiras de escolher n aparelhos dentre N. A probabilidade é a razão entre casos favoráveis e casos totais.

Passo 3

Determinar os valores possíveis de x e calcular o denominador \binom{N}{n}.
  • Os valores possíveis de X são x=0,1,2. Não pode ser 3 porque só existem 2 defeituosos na população.
  • Calcular \binom{5}{3}:
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10.
Portanto o número total de maneiras de escolher 3 aparelhos dentre 5 é 10. Esse será o denominador nas probabilidades.

Passo 4

Calcular P(X=0) passo a passo (nenhum defeituoso na amostra).
  • Pelo fórmula:
P(X=0)=\frac{\binom{2}{0}\,\binom{3}{3}}{\binom{5}{3}}.
  • Avaliando cada combinação: \binom{2}{0}=1 (escolher 0 defeituosos), \binom{3}{3}=1 (escolher 3 não-defeituosos entre os 3 disponíveis).
  • Logo
P(X=0)=\frac{1\cdot1}{10}=\frac{1}{10}=0,1.
Interpretação: há apenas uma maneira (pegar os 3 bons) dentre 10 maneiras possíveis, logo probabilidade 0,1.

Passo 5

Calcular P(X=1) passo a passo (exatamente 1 defeituoso).
  • Pela fórmula:
P(X=1)=\frac{\binom{2}{1}\,\binom{3}{2}}{\binom{5}{3}}.
  • Avaliando: \binom{2}{1}=2 (escolher 1 defeituoso entre 2), \binom{3}{2}=3 (escolher 2 bons entre 3).
  • Logo
P(X=1)=\frac{2\cdot3}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}=0,6.

Passo 6

Calcular P(X=2) passo a passo (exatamente 2 defeituosos).
  • Pela fórmula:
P(X=2)=\frac{\binom{2}{2}\,\binom{3}{1}}{\binom{5}{3}}.
  • Avaliando: \binom{2}{2}=1, \binom{3}{1}=3.
  • Logo
P(X=2)=\frac{1\cdot3}{10}=\frac{3}{10}=0,3.
  • Conferência: P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,1+0,6+0,3=1. Somatório igual a 1, como esperado.

Passo 7

Calcular P(X\ge 1) usando complemento (maneira rápida e segura).
  • É mais simples usar o complemento: P(X\ge1)=1-P(X=0).
  • Já calculamos P(X=0)=0,1, então
P(X\ge1)=1-0,1=0,9.

Passo 8

Calcular \mathrm{E}(X) e explicar a fórmula usada.
  • Para a distribuição hipergeométrica existe uma fórmula direta para a esperança:
\mathrm{E}(X)=n\cdot\frac{K}{N},
onde os termos já foram definidos ( n=3, K=2, N=5). A intuição: a fração K/N é a proporção de defeituosos na população; multiplicando por n obtém-se o número médio esperado de defeituosos na amostra.
  • Substituindo:
\mathrm{E}(X)=3\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{5}=1,2.

Passo 9

Calcular \operatorname{Var}(X) e explicar a fórmula usada.
  • A variância da hipergeométrica é
\operatorname{Var}(X)=n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}.
Explicação das partes:
  • n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right) é análogo à variância da binomial n p(1-p) com p=K/N,
  • o fator \frac{N-n}{N-1} ajusta pela retirada sem reposição (é chamado de fator de correção pela população finita).
  • Substituindo n=3, K=2, N=5:
\operatorname{Var}(X)=3\cdot\frac{2}{5}\left(1-\frac{2}{5}\right)\cdot\frac{5-3}{5-1}.
  • Calcular passo a passo:
    • \frac{2}{5}=0,4; 1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}=0,6.
    • \frac{5-3}{5-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
    • Então
\operatorname{Var}(X)=3\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}.
  • Simplificando:
    • 3\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}=3\cdot\frac{6}{25}\cdot\frac{1}{2}=3\cdot\frac{6}{50}=3\cdot\frac{3}{25}=\frac{9}{25}=0,36. \]

Resposta

a) f(x)=P(X=x)=\dfrac{\binom{2}{x}\,\binom{3}{3-x}}{\binom{5}{3}} para x\in\{0,1,2\};\quad f(0)=\dfrac{1}{10},\\ f(1)=\dfrac{3}{5},\\ f(2)=\dfrac{3}{10}.
b) P(X\ge 1)=0,9.
c) \mathrm{E}(X)=\dfrac{6}{5}=1,2;\quad \operatorname{Var}(X)=\dfrac{9}{25}=0,36.

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