Q5: A temperatura média diária (em { }^{\circ} \mathrm{C} ) na sala de exan de uma clínica médica segue uma distribuição Normal, a valor médio de 23^{\circ} \mathrm{C} e desvio padrão de 2,8^{\circ} \mathrm{C}. Qual éo va da temperatura tal que em 1,5 \% dos dias a temperatura sala seja inferior a esse valor?
(A) 16,92^{\circ} \mathrm{C}
(B) 29,08^{\circ} \mathrm{C}
(C) 20,83^{\circ} \mathrm{C}
(D) 5,99^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá a distribuição da temperatura média diária na sala de exame como Normal com média 23^\circ\mathrm{C} e desvio padrão 2{,}8^\circ\mathrm{C}. A pergunta é: qual o valor da temperatura t tal que em 1{,}5\% dos dias a temperatura da sala seja inferior a esse valor? Ou seja, encontrar t que satisfaz \Pr(T<t)=0{,}015. Dados importantes:
  • média: \mu=23
  • desvio padrão: \sigma=2{,}8
  • probabilidade à esquerda desejada: 0{,}015

Passo 2

Modelagem e ideia geral. Seja T a temperatura diária, então
T \sim N(\mu,\sigma^2),\qquad \mu=23,\\ \sigma=2{,}8.
Para achar t com \Pr(T<t)=0{,}015 usamos padronização para a Normal padrão Z. A padronização é a fórmula
Z=\frac{T-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição Normal padrão N(0,1). Isso transforma qualquer Normal numa Normal com média 0 e desvio padrão 1.

Passo 3

Converter o evento em termos de Z. Queremos t tal que
\Pr(T<t)=0{,}015 \quad\Longleftrightarrow\quad \Pr\!\left(Z<\frac{t-\mu}{\sigma}\right)=0{,}015.
Isso significa que \dfrac{t-\mu}{\sigma} é o quantil z da Normal padrão correspondente à probabilidade 0{,}015. Em notação:
\frac{t-\mu}{\sigma}=z_{0{,}015},
onde z_{0{,}015}=\Phi^{-1}(0{,}015) é o valor tal que \Pr(Z<z_{0{,}015})=0{,}015.

Passo 4

Encontrar z_{0{,}015}. Usando tabela da Normal padrão ou calculadora inversa, o quantil para a cauda esquerda de 0{,}015 é aproximadamente
z_{0{,}015}\approx -2{,}17.
(Em tabelas, z=-2{,}17 costuma corresponder a uma área acumulada de aproximadamente 0{,}0150.)

Passo 5

Voltar para t e calcular numericamente. Da relação \dfrac{t-\mu}{\sigma}=z_{0{,}015} temos
t=\mu+\sigma\,z_{0{,}015}.
Substituindo os valores:
t=23 + 2{,}8\cdot(-2{,}17).
Calculemos o produto passo a passo:
2{,}8\cdot2{,}17 = 2\cdot2{,}8 + 0{,}17\cdot2{,}8 = 5{,}6 + 0{,}476 = 6{,}076.
Como o z é negativo,
t=23 - 6{,}076 = 16{,}924\approx 16{,}92.

Passo 6

Interpretação final e escolha da alternativa. O valor de temperatura tal que apenas 1{,}5\% dos dias ficam abaixo dele é aproximadamente 16{,}92^\circ\mathrm{C}, que corresponde à alternativa (A).

Resposta

16{,}92^\circ\mathrm{C} (A)

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