Q7: Num experimento que avalia a influência da temperatura na proporçāo de machos e fêmeas numa certa populaçāo de sapos, verificou-se que, ao se manter a temperatura ambiente em 30^{\circ} \mathrm{C}, existe uma probabilidade de 0,4 da maioria dos girinos nascer fêmea. Já, ao se manter a temperatura em 20^{\circ} \mathrm{C}, essa probabilidade passa a ser 0,6 . Assim, na primeira rodada do experimento a temperatura é mantida em 30^{\circ} \mathrm{C} e verifica-se a quantidade de girinos fēmeas, jà na segunda rodada, a temperatura é mantida em 20^{\circ} \mathrm{C} e verifica-se, novamente a quantidade de fêmeas. As rodadas do experimento são independentes. Sejam X e Y as variáveis aleatórias que registram 1 , caso a maior parte dos girinos seja fêmea e 0 , caso contrário, na primeira e na segunda rodada do experimento, respectivamente. Determine a probabilidade de X+Y=1.
(A) 0,52
(B) 0,6
(C) 0,36
(D) 0,4
(E) 0,16

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Há duas rodadas independentes do experimento.
  • Na primeira rodada, mantendo a temperatura em 30^\circ\mathrm{C}, a probabilidade de que a maioria dos girinos seja fêmea é 0,4.
  • Na segunda rodada, mantendo a temperatura em 20^\circ\mathrm{C}, a probabilidade de que a maioria dos girinos seja fêmea é 0,6.
  • São dadas as variáveis aleatórias:
    • X=1 se, na primeira rodada, a maioria for fêmea; X=0 caso contrário.
    • Y=1 se, na segunda rodada, a maioria for fêmea; Y=0 caso contrário.
  • As rodadas são independentes.
  • Pede-se a probabilidade de X+Y=1, isto é, a probabilidade de ocorrer exatamente uma rodada com maioria de fêmeas.

Passo 2

Modelagem das variáveis e probabilidades fornecidas (peguei estes números do enunciado).
  • X é uma variável de Bernoulli com parâmetro p_X, onde \,p_X=\Pr(X=1)=0,4.
  • Y é uma variável de Bernoulli com parâmetro p_Y, onde \,p_Y=\Pr(Y=1)=0,6.
  • Como as rodadas são independentes, X e Y são variáveis independentes.
Explicando rápido o que é Bernoulli (para ficar claro): uma variável de Bernoulli toma valor 1 com probabilidade p (sucesso) e 0 com probabilidade 1-p (insucesso). Aqui “sucesso” significa “maioria de fêmeas” em cada rodada.

Passo 3

Interpretar o evento X+Y=1.
  • O evento \{X+Y=1\} significa "exatamente uma das variáveis vale 1".
  • Isso é a união disjunta de dois eventos mutuamente exclusivos: \{X+Y=1\} = \{X=1,Y=0\}\\ \cup\\ \{X=0,Y=1\}.
  • Como são disjuntos, a probabilidade é a soma das probabilidades: \Pr(X+Y=1)=\Pr(X=1,Y=0)+\Pr(X=0,Y=1).

Passo 4

Usar independência para calcular cada termo.
  • Pela independência, \Pr(X=1,Y=0)=\Pr(X=1)\Pr(Y=0)=p_X(1-p_Y).Substituindo p_X=0,4 e p_Y=0,6: \Pr(X=1,Y=0)=0,4\cdot(1-0,6)=0,4\cdot0,4.
  • De forma análoga, \Pr(X=0,Y=1)=\Pr(X=0)\Pr(Y=1)=(1-p_X)p_Y,ou seja \Pr(X=0,Y=1)=(1-0,4)\cdot0,6=0,6\cdot0,6.

Passo 5

Somar as duas probabilidades (já desenvolvidas).
  • Calculemos cada produto: 0,4\cdot0,4=0,16, \qquad 0,6\cdot0,6=0,36.
  • Somando: \Pr(X+Y=1)=0,16+0,36=0,52.

Resposta

(A) 0,52

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