Q7: Num experimento que avalia a influência da temperatura na proporçāo de machos e fêmeas numa certa populaçāo de sapos, verificou-se que, ao se manter a temperatura ambiente em
, existe uma probabilidade de 0,4 da maioria dos girinos nascer fêmea. Já, ao se manter a temperatura em
, essa probabilidade passa a ser 0,6 . Assim, na primeira rodada do experimento a temperatura é mantida em
e verifica-se a quantidade de girinos fēmeas, jà na segunda rodada, a temperatura é mantida em
e verifica-se, novamente a quantidade de fêmeas. As rodadas do experimento são independentes. Sejam
e
as variáveis aleatórias que registram 1 , caso a maior parte dos girinos seja fêmea e 0 , caso contrário, na primeira e na segunda rodada do experimento, respectivamente. Determine a probabilidade de
.
(A) 0,52
(B) 0,6
(C) 0,36
(D) 0,4
(E) 0,16
(A) 0,52
(B) 0,6
(C) 0,36
(D) 0,4
(E) 0,16
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Há duas rodadas independentes do experimento.
- Na primeira rodada, mantendo a temperatura em
, a probabilidade de que a maioria dos girinos seja fêmea é . - Na segunda rodada, mantendo a temperatura em
, a probabilidade de que a maioria dos girinos seja fêmea é . - São dadas as variáveis aleatórias:
-
se, na primeira rodada, a maioria for fêmea; caso contrário. -
se, na segunda rodada, a maioria for fêmea; caso contrário.
-
- As rodadas são independentes.
- Pede-se a probabilidade de
, isto é, a probabilidade de ocorrer exatamente uma rodada com maioria de fêmeas.
Passo 2
Modelagem das variáveis e probabilidades fornecidas (peguei estes números do enunciado).
-
é uma variável de Bernoulli com parâmetro , onde . -
é uma variável de Bernoulli com parâmetro , onde . - Como as rodadas são independentes,
e são variáveis independentes.
Explicando rápido o que é Bernoulli (para ficar claro): uma variável de Bernoulli toma valor
com probabilidade
(sucesso) e
com probabilidade
(insucesso). Aqui “sucesso” significa “maioria de fêmeas” em cada rodada.
Passo 3
Interpretar o evento
.
- O evento
significa "exatamente uma das variáveis vale ". - Isso é a união disjunta de dois eventos mutuamente exclusivos:
- Como são disjuntos, a probabilidade é a soma das probabilidades:
Passo 4
Usar independência para calcular cada termo.
- Pela independência,
Substituindo e : - De forma análoga,
ou seja
Passo 5
Somar as duas probabilidades (já desenvolvidas).
- Calculemos cada produto:
- Somando:
Resposta
(A)