Se uma caixa de base quadrada deve ter um volume de 10 m^3, determine as dimensões que exigem menor quantidade de material (desprezar a espessura e a perda de material).

Passo 1

A gente tem uma caixa de base quadrada de lado x e altura h, e o volume tem que ser 10,m^3. O que vamos usar aqui é otimização de funções: vamos escrever a área de material em função de uma só variável (usando a restrição do volume) e depois achar o mínimo via derivada.

Passo 2

Definindo o volume, temos
V = x^2 cdot h = 10
Daí isolo h:
$$
h = \frac{10}{x^2}\n$$

Passo 3

A área total de material (caixa fechada com tampa) é soma da base, tampa e 4 faces laterais. Logo:
S = 2x^2 + 4x,h
Agora substituo h em S:
S(x) = 2x^2 + 4xcdot 10x^2 = 2x^2 + 40x

Passo 4

Para achar o mínimo, calculo a derivada e igualo a zero:
S'(x) = 4x - 40x^2
4x - 40x^2 = 0 Longrightarrow 4x^3 = 40 Longrightarrow x^3 = 10 Longrightarrow x = raiz[3]10

Passo 5

Por fim, uso h = 10/x^2:
h = 10(raiz[3]10)^2 = raiz[3]10
Ou seja, a altura é igual ao lado da base, formando um cubo.

Resposta

A caixa de menor material é um cubo de aresta raiz[3]10,m, ou seja, base x = raiz[3]10,m e altura h = raiz[3]10,m.

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