Se uma caixa de base quadrada deve ter um volume de
, determine as dimensões que exigem menor quantidade de material (desprezar a espessura e a perda de material).
Passo 1
A gente tem uma caixa de base quadrada de lado
e altura
, e o volume tem que ser
. O que vamos usar aqui é otimização de funções: vamos escrever a área de material em função de uma só variável (usando a restrição do volume) e depois achar o mínimo via derivada.
Passo 2
Definindo o volume, temos
Daí isolo
:
$$
h = \frac{10}{x^2}\n$$
Passo 3
A área total de material (caixa fechada com tampa) é soma da base, tampa e 4 faces laterais. Logo:
Agora substituo
em
:
Passo 4
Para achar o mínimo, calculo a derivada e igualo a zero:
Passo 5
Por fim, uso
:
Ou seja, a altura é igual ao lado da base, formando um cubo.
Resposta
A caixa de menor material é um cubo de aresta
, ou seja, base
e altura
.