Questão 5

Usando as séries geométricas, escrever 3,141514151415 ldots . . na forma de um número racional.

Passo 1

O enunciado pede para representar como fração o número decimal 3,141514151415…, ou seja, 3 mais a parte decimal em que o bloco “1415” se repete indefinidamente. Vamos usar séries geométricas para converter o decimal periódico em racional.

Passo 2

Separamos a parte inteira e a parte decimal periódica. Chamemos o número desejado de x:
x = 3,14151415dots
Então podemos escrever
x = 3 + R
o valor R é
R = 0,1415
onde o traço indica que o bloco “1415” se repete.

Passo 3

Para achar R, note que cada repetição de “1415” ocupa quatro casas decimais. Podemos escrever R como a soma infinita:
R = 0,1415 + 0,00001415 + 0,000000001415 + cdots
Isso é uma série geométrica de primeiro termo
a = 0,1415 = 141510^4
e razão
r = 110^4 = 0,0001

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma de série geométrica sumk=0^infty ar^k = a1-r, temos
R = 1415/10^41 - 1/10^4 = 141510^4 - 1 = 14159999

Passo 5

Voltando a x, somamos a parte inteira:
x = 3 + 14159999 = 3cdot9999 + 14159999 = 29997 + 14159999 = 314129999

Passo 6

Verificamos que o numerador 31412 e o denominador 9999 não têm divisores comuns além de 1, logo a fração está irredutível.

Resposta

314129999

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