Usando as séries geométricas, escrever . . na forma de um número racional.
Passo 1
O enunciado pede para representar como fração o número decimal 3,141514151415…, ou seja, 3 mais a parte decimal em que o bloco “1415” se repete indefinidamente. Vamos usar séries geométricas para converter o decimal periódico em racional.
Passo 2
Separamos a parte inteira e a parte decimal periódica. Chamemos o número desejado de :
Então podemos escrever
o valor é
onde o traço indica que o bloco “1415” se repete.
Passo 3
Para achar R, note que cada repetição de “1415” ocupa quatro casas decimais. Podemos escrever R como a soma infinita:
R = 0,1415 + 0,00001415 + 0,000000001415 + cdots
Isso é uma série geométrica de primeiro termo
a = 0,1415 = 141510^4
e razão
r = 110^4 = 0,0001
Passo 4
Aplicando a fórmula da soma de série geométrica sumk=0^infty ar^k = a1-r, temos