Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
Temos a equação diferencial de 3ª ordem
. O conteúdo é EDO linear não homogênea e vamos usar variação de parâmetros. Para isso, precisamos da solução da homogênea (polinômio característico, raízes e base de soluções) e depois integrar algumas expressões para obter a solução particular.
Passo 2
Começo encontrando a solução da homogênea. O polinômio característico é
, com raízes
(multiplicidade 2) e
. Logo um conjunto fundamental é
,
e
, e a solução geral da homogênea é
.
Passo 3
Para a variação de parâmetros, suponho
e imponho as condições
Passo 4
Substituo
e derivadas:
;
;
. Da terceira equação vem
Da segunda:
E da primeira:
Passo 5
Agora integro cada expressão:
Passo 6
Com isso, a solução particular é
Passo 7
Finalmente, a solução geral da EDO é