Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Temos a equação diferencial de 3ª ordem y''' - y'' = x^2. O conteúdo é EDO linear não homogênea e vamos usar variação de parâmetros. Para isso, precisamos da solução da homogênea (polinômio característico, raízes e base de soluções) e depois integrar algumas expressões para obter a solução particular.

Passo 2

Começo encontrando a solução da homogênea. O polinômio característico é r^3 - r^2 = r^2(r-1) = 0, com raízes r=0 (multiplicidade 2) e r=1. Logo um conjunto fundamental é y1=1, y2=x e y3=e^x, e a solução geral da homogênea é yh = C1 + C2 x + C3 e^x.

Passo 3

Para a variação de parâmetros, suponho yp = u1(x),y1 + u2(x),y2 + u3(x),y3 e imponho as condições
u1' y1 + u2' y2 + u3' y3 = 0,
u1' y1' + u2' y2' + u3' y3' = 0,
u1' y1'' + u2' y2'' + u3' y3'' = x^2

Passo 4

Substituo yi e derivadas: y1=1,y1'=0,y1''=0; y2=x,y2'=1,y2''=0; y3=e^x,y3'=e^x,y3''=e^x. Da terceira equação vem
u3' e^x = x^2 Rightarrow u3' = x^2 e^-x
Da segunda:
u2' + u3' e^x = 0 Rightarrow u2' = -x^2
E da primeira:
u1' - x^3 + x^2 = 0 Rightarrow u1' = x^3 - x^2

Passo 5

Agora integro cada expressão:
u1 = integral (x^3 - x^2),dx = x^44 - x^33,
u2 = integral (-x^2),dx = -x^33,
u3 = integral x^2 e^-x,dx = -e^-x(x^2 + 2x + 2)

Passo 6

Com isso, a solução particular é
yp = u1cdot1 + u2cdot x + u3cdot e^x = x^44 - x^33 - x^43 - (x^2 + 2x + 2) = -x^412 - x^33 - x^2 - 2x - 2

Passo 7

Finalmente, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^x - x^412 - x^33 - x^2 - 2x - 2

Resposta

y(x) = C1 + C2 x + C3 e^x - x^412 - x^33 - x^2 - 2x - 2

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