Determine a imagem das funções
f(x)=raizx(4-x)

Passo 1

O enunciado pede a imagem (conjunto de valores assumidos) da função f(x)=raizx(4-x). O conteúdo aqui é análise de domínio e extremações de função composta com raiz quadrada.

Passo 2

Para a raiz estar bem definida, o radicando precisa ser não negativo:
x(4-x)>= 0
Isso é uma inequação quadrática cujas raízes são x=0 e x=4. Como o coeficiente de x^2 em x(4-x)=-x^2+4x é negativo, a solução é o intervalo fechado [0,4].

Passo 3

Dentro de [0,4], f(x) é sempre não negativa. O menor valor ocorre nas extremidades, onde x(4-x)=0, ou seja, f(0)=0 e f(4)=0.

Passo 4

Para achar o valor máximo, analisamos o radicando g(x)=x(4-x)=-x^2+4x. Como é uma parábola invertida, o vértice dá o máximo.
O vértice em x=-tfracb2a= -tfrac42(-1)=2.
Então
g(2)=2(4-2)=4
Logo f(2)=raiz4=2.

Resposta

[0,2]

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