1. Encontre, usando o cálculo diferencial, as dimensões do retângulo de menor perímetro cuja área é de 450 centímetros quadrados.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as dimensões de um retângulo de área fixa (450 cm²) que minimize o perímetro usando cálculo diferencial. O conteúdo aqui é otimização com restrição de área, e vamos precisar expressar o perímetro em função de uma única variável, derivar, igualar a zero e verificar mínimo.

Passo 2

Definimos as dimensões do retângulo por duas variáveis positivas: o comprimento x e a largura y. A área é fixa, então temos a restrição x,y=450. O perímetro é dado por P=2(x+y).

Passo 3

Usando a restrição x,y=450, isolamos uma das variáveis, por exemplo y:
y=450x

Passo 4

Substituímos y na expressão do perímetro para obter P em função de x:
P(x)=2l(x+450xr)

Passo 5

Para encontrar o mínimo de P(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
P'(x)=2l(1-450x^2r)=0

Passo 6

Daí temos
1-450x^2=0implies x^2=450implies x=raiz450, (>0)

Passo 7

Calculamos y usando a restrição:
y=450raiz450=raiz450

Passo 8

Podemos verificar que P''(x)=2cdot900x^3>0 para x>0, garantindo que é um mínimo. Concluímos que o retângulo de menor perímetro, sob a área fixa de 450 cm², é um quadrado com lados iguais.

Resposta

O retângulo de menor perímetro é um quadrado com x=y=15raiz2 cm.

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