- Encontre, usando o cálculo diferencial, as dimensões do retângulo de menor perímetro cuja área é de 450 centímetros quadrados.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as dimensões de um retângulo de área fixa (450 cm²) que minimize o perímetro usando cálculo diferencial. O conteúdo aqui é otimização com restrição de área, e vamos precisar expressar o perímetro em função de uma única variável, derivar, igualar a zero e verificar mínimo.
Passo 2
Definimos as dimensões do retângulo por duas variáveis positivas: o comprimento
e a largura
. A área é fixa, então temos a restrição
. O perímetro é dado por
.
Passo 3
Usando a restrição
, isolamos uma das variáveis, por exemplo
:
Passo 4
Substituímos
na expressão do perímetro para obter
em função de
:
Passo 5
Para encontrar o mínimo de
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 6
Daí temos
Passo 7
Calculamos
usando a restrição:
Passo 8
Podemos verificar que
para
, garantindo que é um mínimo. Concluímos que o retângulo de menor perímetro, sob a área fixa de 450 cm², é um quadrado com lados iguais.
Resposta
O retângulo de menor perímetro é um quadrado com
cm.