Uma caixa de base quadrada, de lado
, e sem tampa tem um volume de
. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material utilizado (sua área total). Dica: Lembre-se que
.
e
.
Passo 1
O enunciado apresenta uma caixa sem tampa com base quadrada de lado
e altura
, sujeita à restrição de volume
e pede as dimensões que minimizam a área total de material usada. A área total é
O método será: usar a restrição de volume para eliminar
, expressar
como função de
, derivar, achar o mínimo e então voltar a
.
Passo 2
Da restrição de volume
, isolamos
:
Passo 3
Substituindo esse
em
, obtemos a função univariada
Passo 4
Para encontrar extremos, calculamos a derivada de
:
Igualando a zero:
Verificamos que é mínimo:
Passo 5
Agora calculamos a altura correspondente:
Resposta
O lado da base deve ser
cm e a altura
cm.