Uma caixa de base quadrada, de lado x, e sem tampa tem um volume de 13500 \mathrm{~cm}^{3}. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material utilizado (sua área total). Dica: Lembre-se que V=A_{b}. h e A_{t}=A_{b}+4 A_{l}.

Passo 1

O enunciado apresenta uma caixa sem tampa com base quadrada de lado x e altura h, sujeita à restrição de volume
x^2 h = 13500\text{ cm}^3,
e pede as dimensões que minimizam a área total de material usada. A área total é
A_t = A_b + 4A_l = x^2 + 4(xh).
O método será: usar a restrição de volume para eliminar h, expressar A_t como função de x, derivar, achar o mínimo e então voltar a h.

Passo 2

Da restrição de volume \,x^2h=13500, isolamos h:
h = \frac{13500}{x^2}.

Passo 3

Substituindo esse h em A_t = x^2 + 4xh, obtemos a função univariada
A(x) = x^2 + 4x\cdot\frac{13500}{x^2} = x^2 + \frac{54000}{x}.

Passo 4

Para encontrar extremos, calculamos a derivada de A(x):
A'(x) = 2x - 54000\,x^{-2}.
Igualando a zero:
2x - \frac{54000}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^3 = 54000 \quad\Longrightarrow\quad x^3 = 27000 \quad\Longrightarrow\quad x = 30\text{ cm}.
Verificamos que é mínimo:
A''(x) = 2 + 108000\,x^{-3} > 0\quad\text{para }x>0.

Passo 5

Agora calculamos a altura correspondente:
h = \frac{13500}{x^2} = \frac{13500}{30^2} = \frac{13500}{900} = 15\text{ cm}.

Resposta

O lado da base deve ser x=30 cm e a altura h=15 cm.

Exercícios relacionados