Utilize a Regra de L’Hôpital para calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\ln (\cos (x))}{e^{x}-1-x}. Dica: Lembre-se que \operatorname{sec} (x)=\frac{1}{\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{-\ln(\cos(x))}{e^{x}-1-x}
usando a Regra de L’Hôpital. Vamos verificar que temos uma forma indeterminada 0/0 e, em seguida, derivar numerador e denominador.

Passo 2

Ao substituir x=0 temos
\cos(0)=1 -\ln(\cos(0))=0
e^{0}-1-0=0
logo é 0/0. Aplicando L’Hôpital uma vez, derivamos numerador e denominador:
derivada do numerador
\frac{d}{dx}\bigl[-\ln(\cos(x))\bigr] =-\frac{-\sin(x)}{\cos(x)} =\tan(x),
derivada do denominador
\frac{d}{dx}\bigl[e^{x}-1-x\bigr] =e^{x}-1.
Então o limite passa a ser
\lim_{x\to0}\frac{\tan(x)}{e^{x}-1},
que ainda é 0/0.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital de novo. Derivada de \tan(x) é \operatorname{sec}^2(x) (lembrando que \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x)) e derivada de e^{x}-1 é e^{x}. Assim o limite vira
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sec}^2(x)}{e^{x}}.

Passo 4

Agora basta substituir x=0:
\operatorname{sec}^2(0)=1 e e^{0}=1, logo
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sec}^2(x)}{e^{x}} =\frac{1}{1} =1.

Resposta

1

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