Utilize a Regra de L’Hôpital para calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x \cdot e^{2 x}}\right)

Passo 1

O enunciado nos pede o cálculo do limite
\lim_{x \to 0}\Bigl(\frac{1}{x} - \frac{1}{x\,e^{2x}}\Bigr),
aplicando a Regra de L’Hôpital, que se usa em formas de indeterminação \frac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 2

Reescrevemos a diferença como uma única fração:
\frac{1}{x} - \frac{1}{x\,e^{2x}} = \frac{1 - e^{-2x}}{x}.

Passo 3

Verificamos a forma indeterminada ao substituir x=0:
1 - e^{-2\cdot 0} = 1 - 1 = 0 \quad\text{e}\quad x = 0,
logo é \frac{0}{0}, então podemos usar L’Hôpital.

Passo 4

Aplicamos a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador:
\text{num}' = \frac{d}{dx}\bigl(1 - e^{-2x}\bigr) = 2e^{-2x}, \quad \text{den}' = \frac{d}{dx}(x) = 1.
O limite passa a ser
\lim_{x \to 0}\frac{2e^{-2x}}{1}.

Passo 5

Avaliamo-o em x=0:
2e^{-2\cdot 0} = 2 \times 1 = 2.

Resposta

2

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