Considere a função f(x)=x^{4}-18 x^{2}+19. Use, se necessário, \sqrt{2} \approx 1,4 \mathrm{e} \sqrt{3} \approx 1,7.
a) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os máximo e mínimos locais.
b) Determine os pontos de inflexão e os intervalos em que a função é côncava para cima e os em que ela é côncava para baixo.
c) Calcule os máximos e mínimos globais de f(x) dentro do intervalo fechado [-1,5].

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=x^{4}-18x^{2}+19,
a) os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais;
b) os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade;
c) os máximos e mínimos globais em [-1,5].
O que vamos precisar é a primeira derivada para (a), a segunda para (b) e a análise de valores em pontos críticos e extremidades para (c).

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=4x^{3}-36x=4x(x^{2}-9)=4x(x-3)(x+3).
Os pontos críticos são x=-3,0,3. Analisando o sinal de f'(x) em cada intervalo:
  • Em x<-3: x<0,\;x-3<0,\;x+3<0 \Rightarrow produto <0 \Rightarrow decrescente.
  • Em -3<x<0: x<0,\;x-3<0,\;x+3>0 \Rightarrow produto >0 \Rightarrow crescente.
  • Em 0<x<3: x>0,\;x-3<0,\;x+3>0 \Rightarrow produto <0 \Rightarrow decrescente.
  • Em x>3: x>0,\;x-3>0,\;x+3>0 \Rightarrow produto >0 \Rightarrow crescente.
    Logo,
f\text{ cresce em }(-3,0)\text{ e }(3,\infty),
f\text{ decresce em }(-\infty,-3)\text{ e }(0,3).
Para classificar extremos, avaliamos
f(-3)=(-3)^{4}-18\cdot(-3)^{2}+19=81-162+19=-62,
f(0)=19,\quad f(3)=-62.
Em x=-3 e em x=3 a derivada troca de negativa para positiva \Rightarrow mínimos locais f(-3)=f(3)=-62.
Em x=0 troca de positiva para negativa \Rightarrow máximo local f(0)=19.

Passo 3

Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=12x^{2}-36=12(x^{2}-3).
O ponto de inflexão vem de f''(x)=0 \Rightarrow x^{2}=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1,7.
O sinal de f'' diz:
  • Para |x|<\sqrt{3}: x^{2}-3<0 \Rightarrow f''(x)<0 \Rightarrow côncava para baixo.
  • Para |x|>\sqrt{3}: x^{2}-3>0 \Rightarrow f''(x)>0 \Rightarrow côncava para cima.
    Em x=\pm\sqrt{3} há pontos de inflexão, e
f(\pm\sqrt{3})=(\sqrt{3})^{4}-18(\sqrt{3})^{2}+19=9-54+19=-26.

Passo 4

Para extremos globais em [-1,5] avaliamos f em x=-1,0,3,5 (os críticos em [-1,5] são 0 e 3):
f(-1)=1-18+19=2,\quad f(0)=19,\quad f(3)=-62,\quad f(5)=5^{4}-18\cdot5^{2}+19=625-450+19=194.
O menor valor é -62 em x=3 e o maior é 194 em x=5.

Resposta

a) f cresce em (-3,0) e em (3,\infty), decresce em (-\infty,-3) e em (0,3). Tem mínimos locais em (x,f(x))=(-3,-62) e (3,-62) e máximo local em (0,19).
b) Pontos de inflexão em x=\pm\sqrt{3} com f(\pm\sqrt{3})=-26. É côncava para cima em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty) e côncava para baixo em (-\sqrt{3},\sqrt{3}).
c) Em [-1,5] o mínimo global é f(3)=-62 e o máximo global é f(5)=194.

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