Considere a função
. Use, se necessário,
.
a) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os máximo e mínimos locais.
b) Determine os pontos de inflexão e os intervalos em que a função é côncava para cima e os em que ela é côncava para baixo.
c) Calcule os máximos e mínimos globais de
dentro do intervalo fechado
.
a) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os máximo e mínimos locais.
b) Determine os pontos de inflexão e os intervalos em que a função é côncava para cima e os em que ela é côncava para baixo.
c) Calcule os máximos e mínimos globais de
Passo 1
O enunciado pede, para a função
a) os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais;
b) os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade;
c) os máximos e mínimos globais em .
O que vamos precisar é a primeira derivada para (a), a segunda para (b) e a análise de valores em pontos críticos e extremidades para (c).
b) os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade;
c) os máximos e mínimos globais em
O que vamos precisar é a primeira derivada para (a), a segunda para (b) e a análise de valores em pontos críticos e extremidades para (c).
Passo 2
Calculamos a primeira derivada:
Os pontos críticos são
. Analisando o sinal de
em cada intervalo:
- Em
: produto decrescente. - Em
: produto crescente. - Em
: produto decrescente. - Em
: produto crescente.
Logo,
Para classificar extremos, avaliamos
Em
e em
a derivada troca de negativa para positiva
mínimos locais
.
Em troca de positiva para negativa
máximo local
.
Em
Passo 3
Calculamos a segunda derivada:
O ponto de inflexão vem de
.
O sinal de diz:
O sinal de
- Para
: côncava para baixo. - Para
: côncava para cima.
Emhá pontos de inflexão, e
Passo 4
Para extremos globais em
avaliamos
em
(os críticos em
são
e
):
O menor valor é
em
e o maior é
em
.
Resposta
a)
cresce em
e em
, decresce em
e em
. Tem mínimos locais em
e
e máximo local em
.
b) Pontos de inflexão em com
. É côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
c) Em o mínimo global é
e o máximo global é
.
b) Pontos de inflexão em
c) Em