A concentração (inicial) M(t) (em m g / m l ) de um medicamento no sangue de um paciente é de 4 \mathrm{mg} / \mathrm{ml} imediatamente após uma injeção e t horas depois está diminuindo a uma taxa M^{\prime}(t)=-\frac{2 t+4}{\sqrt{t^{2}+4 t+9}} \mathrm{mg} / \mathrm{ml} . h. Uma nova dose é aplicada sempre que a concentração for inferior a 1 \mathrm{mg} / \mathrm{ml}. Encontre tanto a função que descreve a concentracão M(t) quanto a concentração após 2 h e determine se nesse instante já é necessária uma nova dose. Use \sqrt{21} \approx 4,6.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação da concentração M(t) no sangue por
M'(t) = -\frac{2t+4}{\sqrt{t^2+4t+9}},
com a condição inicial M(0)=4.
O que vamos usar: resolver a equação diferencial por integração (achar M(t) integrando M'(t)), depois aplicar M(0)=4 para achar a constante e, por fim, calcular M(2) e verificar se M(2)<1.

Passo 2

Para integrar
M'(t) = -\frac{2t+4}{\sqrt{t^2+4t+9}},
fazemos a substituição
u = t^2 + 4t + 9 \quad\Longrightarrow\quad du = (2t+4)\,dt.
Então
\int M'(t)\,dt = -\int \frac{2t+4}{\sqrt{u}}\,dt = -\int \frac{du}{\sqrt{u}} = -2\sqrt{u} + C.
Voltando a t, obtemos em display a primitiva
M(t) = -2\sqrt{t^2 + 4t + 9} + C.

Passo 3

Usamos a condição inicial M(0)=4. Em t=0 temos \sqrt{0^2+4\cdot0+9}=\sqrt{9}=3, logo
M(0) = -2\cdot3 + C = -6 + C = 4 \quad\Longrightarrow\quad C = 10.
Portanto
M(t) = 10 \;-\; 2\sqrt{t^2 + 4t + 9}.

Passo 4

Agora calculamos M(2). Temos
t^2 + 4t + 9 \bigl|_{t=2} = 4 + 8 + 9 = 21,
\sqrt{21}\approx4{,}6, então
M(2) = 10 - 2\cdot 4{,}6 = 10 - 9{,}2 = 0{,}8\\ \text{mg/ml}.

Passo 5

Como M(2)=0{,}8<1, a concentração já está abaixo de 1\\ \text{mg/ml}, portanto é necessária uma nova dose.

Resposta

A função concentração é
M(t) = 10 - 2\sqrt{t^2 + 4t + 9}.
A concentração em t=2 horas é M(2)=0{,}8\\ \mathrm{mg/ml}, e como isso é menor que 1\\ \mathrm{mg/ml}, já se deve aplicar nova dose.

Exercícios relacionados