A concentração (inicial) M(t) (em m g / m l ) de um medicamento no sangue de um paciente é de 4 \mathrm{mg} / \mathrm{ml} imediatamente após uma injeção e t horas depois está diminuindo a uma taxa M^{\prime}(t)=-\frac{2 t+4}{\sqrt{t^{2}+4 t+9}} \mathrm{mg} / \mathrm{ml} . h. Uma nova dose é aplicada sempre que a concentração for inferior a 1 \mathrm{mg} / \mathrm{ml}. Encontre tanto a função que descreve a concentracão M(t) quanto a concentração após 2 h e determine se nesse instante já é necessária uma nova dose. Use \sqrt{21} \approx 4,6.
Passo 1
O enunciado dá a taxa de variação da concentração M(t) no sangue por
M'(t) = -\frac{2t+4}{\sqrt{t^2+4t+9}},
com a condição inicial M(0)=4.
O que vamos usar: resolver a equação diferencial por integração (achar M(t) integrando M'(t)), depois aplicar M(0)=4 para achar a constante e, por fim, calcular M(2) e verificar se M(2)<1.
Passo 2
Para integrar
M'(t) = -\frac{2t+4}{\sqrt{t^2+4t+9}},
fazemos a substituição
u = t^2 + 4t + 9 \quad\Longrightarrow\quad du = (2t+4)\,dt.