Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter
de volume. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material. (Desprezar a espessura do material e as perdas na construção da caixa.)
Passo 1
O problema pede uma caixa de base quadrada sem tampa com volume
, buscando minimizar a quantidade de material, ou seja, a área total. O conteúdo envolve otimização de funções sujeitas a restrições, usando cálculo diferencial.
Passo 2
Definimos
como o lado da base e
como a altura da caixa. A restrição de volume é dada por
e a área total (sem tampa) é
Passo 3
Isolamos
em função de
usando a restrição de volume e substituímos em
para obter uma função de uma variável:
Passo 4
Calculamos a derivada de
, igualamos a zero e resolvemos para achar o ponto crítico:
Passo 5
Verificamos que
é positiva em
, confirmando mínimo. Por fim, obtemos a altura pela restrição de volume:
Resposta
O lado da base deve ser
m e a altura
m.