Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter 1 / m^3 de volume. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material. (Desprezar a espessura do material e as perdas na construção da caixa.)

Passo 1

O problema pede uma caixa de base quadrada sem tampa com volume 1,m^3, buscando minimizar a quantidade de material, ou seja, a área total. O conteúdo envolve otimização de funções sujeitas a restrições, usando cálculo diferencial.

Passo 2

Definimos x como o lado da base e y como a altura da caixa. A restrição de volume é dada por
x^2y = 1
e a área total (sem tampa) é
S = x^2 + 4xy .

Passo 3

Isolamos y em função de x usando a restrição de volume e substituímos em S para obter uma função de uma variável:
y = 1x^2
S(x) = x^2 + 4xcdot1x^2 = x^2 + 4x

Passo 4

Calculamos a derivada de S(x), igualamos a zero e resolvemos para achar o ponto crítico:
S'(x) = 2x - 4x^2, S'(x)=0 Rightarrow 2x = 4x^2 Rightarrow x^3 = 2 Rightarrow x = raiz[3]2

Passo 5

Verificamos que
S''(x) = 2 + 8x^3
é positiva em x=raiz[3]2, confirmando mínimo. Por fim, obtemos a altura pela restrição de volume:
y = 1(raiz[3]2)^2 = 1raiz[3]4

Resposta

O lado da base deve ser raiz[3]2 m e a altura tfrac1raiz[3]4 m.

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