Questão 2. Se T denota o triângulo que liga os pontos z=0, z=1 e z=1+i orientado positivamente, calcule as integrais abaixo:
integralT x d z;

Passo 1

Temos a integral complexa integralTx,dz sobre o triângulo com vértices em 0, 1 e 1+i, orientado positivamente. É um problema de integral de linha em C e vamos precisar parametrizar cada aresta do triângulo para calcular a integral.

Passo 2

Para o primeiro segmento de 0 a 1, escolhemos a parametrização z1(t)=t, tin[0,1]. Assim x=Re(z1)=t e dz1=dt. Logo fazemos
integralC1x,dz=integral0^1t,dt=12

Passo 3

No segundo segmento de 1 a 1+i, definimos z2(t)=1+i,t, tin[0,1]. Aqui x=1 e dz2=i,dt. Então
integralC2x,dz=integral0^1 1cdot i,dt=i

Passo 4

Para o terceiro segmento de 1+i de volta a 0, usamos z3(t)=1+i-(1+i)t, tin[0,1]. Dessa forma x=1-t e dz3=-(1+i),dt. Assim
integralC3x,dz=integral0^1(1-t)(-1-i),dt=(-1-i)integral0^1(1-t),dt=-12-i2

Passo 5

Somando todas as contribuições, obtemos
integralTx,dz=12 + i +l(-tfrac12-tfraci2r)=i2

Resposta

tfraci2

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