Seja g: R R derivável e seja f dada por f^prime(1). Verifique que g(1)=4 g^prime(1)=2 e calcule supondo que e .

Passo 1

O enunciado dá uma função g: Rto R derivável e define f(x)=x,g(x^2). Precisamos mostrar que
para todo x, f'(x)=g(x^2)+2x^2g'(x^2) e depois calcular f'(1) sabendo que g(1)=4 e g'(1)=2.

Passo 2

Para encontrar f'(x) usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Seja u(x)=x e v(x)=g(x^2). Então
u'(x)=1, v'(x)=g'(x^2)cdot(2x)=2x,g'(x^2) Logo, pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1cdot g(x^2)+xcdot(2x,g'(x^2))=g(x^2)+2x^2g'(x^2)

Passo 3

Agora avaliamos em x=1. Substituindo na fórmula de f'(x), temos
f'(1)=g(1^2)+2cdot1^2,g'(1^2)=g(1)+2g'(1)=4+2cdot2=8

Resposta

8

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